Для последовательности чисел вывести формулу

Числовые последовательности для чайников: определение, формулы

• 12 января 2021 г.
• 10 минут
• 77 346
• 2

По просьбам читателей возобновляем рубрику «Математика для чайников». Говорим о числовых последовательностях и вычислении их пределов. Выясняем, чем последовательность отличается от простого набора чисел и как ее можно задать.

Нужно больше полезной и интересной информации? Этого добра много не бывает! Присоединяйтесь к нам в телеграм.

Последовательности чисел

Мы сталкиваемся с последовательностями чисел каждый день. Вот только встреча с последовательностями на экзамене может быть не самой приятной.

Чтобы было иначе, читаем эту статью, а если что-то непонятно, смело обращаемся к нашим консультантам за помощью.

Одна из самых интересных и известных последовательностей – числа Фибоначчи. Эта последовательность имеет удивительные свойства и часто встречается в природе. Например, семечки у подсолнуха упорядочены в две спирали. Числа, обозначающие количество семечек в каждой из них, являются членами последовательности Фибоначчи.

Что такое числовая последовательность?

Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:

• для каждого натурального числа существует элемент данного множества;
• это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
• для любого элемента последовательности можно указать следующий за ним элемент.

Числовая последовательность – это функция переменной n, которая принадлежит множеству натуральных чисел N.

Существованием функции, по которой можно вычислить любой член последовательности, она и отличается от случайного набора чисел.

На словах звучит громоздко и сложно. Но на то это и математика, чтобы записывать все буквами и числами. Обычно последовательность обозначают буквой x, хотя можно применять и другие.

Какие бывают последовательности

• постоянную, или монотонную последовательность: 1, 1, 1, 1, 1.
• возрастающую последовательность, в которой каждый следующий элемент больше предыдущего
• убывающую последовательность, в которой каждый следующий элемент меньше предыдущего

Также последовательности делятся на сходящиеся и расходящиеся. Сходящаяся последовательность имеет конечный предел. А предел расходящейся последовательности равен бесконечности, либо последовательность вообще не имеет предела. Но о пределах немного позже.

Рассмотрим самые известные примеры последовательностей. Еще со школы всем знакомы арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Посмотрим на числа:

Что у них общего? Они все нечетные и каждое следующее можно получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем его d. В данном случае d=2.

Описанная выше последовательность – арифметическая прогрессия. Приведем основные формулы для нее:

Элемент a с номером n называется общим членом последовательности. А число d – разностью афифметической прогрессии.

Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:

Также африфметическая прогрессия обладает характреристическим свойством:

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением:

Основные формулы для геометрической прогрессии приведены ниже. Формула n-го члена прогрессии:

Сумма первых n членов прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Способы задания последовательностей

Последовательность можно задать несколькими способами:

1. Аналитически или, проще говоря, формулой.
2. Реккурентно. Здесь известно несколько первых членов прогрессии и есть формула, которая позволяет вычислить последующие.
3. Описательно, простым перечислением всех элементов последовательности.

Предел последовательности

Мы уже говорили о пределах функций и способах их вычисления. Из определения последовательности следует, что последовательность – это и есть некоторая функция. Так что, вычисление пределов последовательностей будет во многом схоже с вычислением пределов функций. Правда, со своими особенностями.

Предел последовательности – это такой объект, к которому стремятся члены последовательности с ростом порядкового номера n.

Скажем иначе. Это число, в окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого.

Переменная n в последовательностях всегда стремится к бесконечности, в сторону увеличения натуральных чисел.

Что нужно помнить, вычисляя пределы последовательностей

Кстати! Также полезно помнить, что для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.

1. Последовательность может иметь только один предел.
2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Обратное верно не всегда!
3. Если члены некоторой последовательности zn заключены между соответствующими членами двух последовательностей xn, yn, сходящихся к одному пределу, то и эта последовательность сходится к тому же пределу.
4. Предел постоянной последовательности равен ее постоянному.
5. Если две последовательности x и y равны между собой, то пределы этих последовательностей также равны между собой, если они существуют.
6. Если каждый член сходящейся последовательности не превосходит соответствующего члена другой сходящейся последовательности, то и предел первой не превосходит предела второй.
7. Предел суммы (разности) двух последовательностей равен сумме (разности) их пределов. При условии, что обе последовательности имеют пределы.
8. Предел произведения двух последовательностей, имеющих пределы, существует и равен произведению пределов последовательностей.
9. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
10. Предел частного двух последовательностей, имеющих пределы, равен частному пределов этих последовательностей, если предел знаменателя не равен нулю.

Для проверки своих решений при вычислении пределов не обязательно нести работу на проверку преподавателю. Достаточно воспользоваться онлайн калькулятором.

Тема последовательностей разрабатывалась многими математиками на протяжении веков. Охватить ее в одной статье просто невозможно. Здесь мы дали лишь поверхностное представление. Если у вас есть вопросы или нужна консультация – обращайтесь к специалистам студенческого сервиса, которые помогут быстро прийти к понимаю.

Источник

Можно ли вывести формулу из последовательности чисел?

Имеется последовательность чисел:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 .

Возможно ли с помощью формулы определить выделенные жирным числа?

• Вопрос задан более двух лет назад
• 267 просмотров

Простой 6 комментариев

пока выглядит как 3 числа через 2

— да, только ещё отступ в начале до 7.

По Вашей формулировке, получается последовательность вида:
0 0 0 0 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 .

Мне необходимо подставляя в конечную формулу числа от 1 до n получить такую последовательность:
7 8 9 12 13 14 17 18 19 .

Ааа. Так это уже чуть другое 🙂 А то я, было, уже собрался Вам в ответ такую кракозябру вывести:

y = i*(a/a), где a = i div 5 * ((i-6) mod 5 mod 4)

Если i «нежирное», будет деление на ноль — ошибка, пустое множество etc. Если i «жирное», формула вернёт i.

А под новое условие — сейчас ещё откорректирую и напишу в ответ.

Источник

Числовая последовательность

п.1. Формулы числовых последовательностей

Запишем несколько первых чётных чисел и пронумеруем их:

Этот ряд бесконечен, но, глядя на таблицу, его легко задать формулой: \begin \mathrm> \end

Теперь, пользуясь формулой, для любого порядкового номера n мы сможем найти соответствующее чётное число.

Для обозначения членов последовательности и их индексов можно использовать разные буквы: x₁, x₂, . x_m. ; a₁, a₂, . a_k. ; A₁, A₂, . A_s. и т.д.

Например:
Найти 1й, 3й и 4й члены последовательности, заданной формулой \(\mathrm>\) $$ \mathrm< y_1=\frac<1-1><1+1>=0,\ \ y_3=\frac<3-1><3+1>=\frac12,\ \ y_4=\frac<4-1><4+1>=\frac35 > $$

п.2. Задание последовательностей описанием

Последовательность, заданную формулой y_n=2n, можно задать описанием как «последовательность чётных чисел».

Последовательность, заданную формулой \(\mathrm>\), можно задать описанием как «последовательность дробей, числитель которых на 1 меньше индекса, а знаменатель на 1 больше индекса последовательности».

Кроме того, существуют такие последовательности, которые можно задать только описанием.

Например:
1. Последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

2. Последовательность десятичных приближений числа \(\mathrm<\sqrt<3>>\) по недостатку:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,7302050; 1,73020508,…

п.3. Рекуррентные формулы числовых последовательностей

Важнейшим классом числовых последовательностей, которые широко используются в алгоритмах вычислительной математики, являются рекуррентные отношения (от латинского слова recurrere – возвращаться).

Например:
Найти y₅, если y₁ = 1, y_n = 2y_n-1 + 1
Проводим последовательные вычисления:
y₂ = 2y₁ + 1 = 3, y₃ = 2y₂ + 1 = 7, y₄ = 2y₃ + 1 = 15, y₅ = 2y₄ + 1 = 31
Интересно, что, если присмотреться, эту последовательность можно также задать аналитически: y_n = 2 n – 1.

п.4. Свойства числовых последовательностей

Например:
Последовательность квадратов натуральных чисел y_n = n 2 возрастающая:

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе \(\mathrm\) – убывающая: $$ 1\gt\frac12\gt\frac13\gt. \gt\frac1n\gt. $$

Например:
Последовательность отрицательных дробей с индексом в знаменателе \(\mathrm\) ограничена сверху числом M = 0: $$ -1\lt 0,\ \ -\frac12\lt 0,\ \ -\frac13\lt 0. \ \ -\frac1n\lt 0, . $$

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе \(\mathrm\) ограничена снизу числом M = 0: $$ -1\gt 0,\ \ \frac12\gt 0,\ \ \frac13\gt 0. \ \ \frac1n\gt 0, . $$

Например:
Последовательность дробей с индексом в знаменателе \(\mathrm\) ограничена: $$ 1\gt \frac12\gt \frac13\gt . \gt \frac1n\gt . \gt 0 $$ Верхней границей является M = 1, нижней границей K = 0.

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите первые 4 члена последовательности, заданной формулой
a) \(\mathrm<2n-1>>\)

Пример 2. Найдите первые 4 члена последовательности, заданной рекуррентной формулой
a) y₁ = 3, y_n = 3y_n – 1

Пример 3*. Укажите какую-либо формулу для n-го члена числовой последовательности

а) 3, 5, 7, 9, .
Это – последовательность нечётных чисел, для которой:
y_n = 2n + 1

б) 5, -5, 5, -5.
Это – знакопеременная последовательность, для которой модуль всегда равен 5, а знак меняется. Изменение знака можно записать как степень (–1). Учитывая, что нечётные члены последовательности положительные, а чётные – отрицательные, получаем:
y_n = (–1) n+1 · 5

в) \(\mathrm<\frac<1><1\cdot 2>,\ \ \frac<1><2\cdot 3>,\ \ \frac<1><3\cdot 4>. >\)
Это – последовательность дробей, у которых в знаменателе произведение текущего индекса n на следующий индекс (n + 1):
\(\mathrm>\)

г) 2, 5, 10, 17, 26, 37, .
Заметим, что

5 — 2 = 3, 10 — 5 = 5, 17 — 10 = 7, 26 — 17 = 9, .

Каждый последующий член отличается от предыдущего на возрастающее нечётное число. Можем записать рекуррентную формулу:
y₁ = 2, y_n = y_n-1 + (2n –1)

Пример 4*. Пифагор изучал последовательность «треугольных» чисел, которые можно задать следующими геометрическими фигурами:

и т.д.
Задайте эту последовательность 1) рекуррентной формулой; 2) аналитической формулой.

1) Запишем последовательность в явном виде, как это следует из чертежа: $$ \mathrm< y_1=1,\ \ y_2=\underbrace<1>_+2=3,\ \ y_3=\underbrace<1+2>_+3=6,\ \ y_4=\underbrace<1+2+3>_+4=10 > $$ Отсюда получаем следующую рекуррентную формулу: y₁ = 1, y_n = y_n-1 + n

2) Для произвольного члена последовательности:

y_n = 1 + 2 + 3 + . + (n — 2) + (n — 1) + n

Найдём эту сумму. Для этого запишем выражение наоборот:

y_n = n + (n — 1) + (n — 2) + . + 3 + 2 + 1

Источник