Формула периода математического маятника вывести длину нити

Формулы математического маятника

Определение и формулы математического маятника

Математический маятник — это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.

Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.

Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.

Уравнение движения математического маятника

Математический маятник — классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:

где $\varphi $ — угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.

Решением уравнения (1) является функция $\varphi (t):$

где $\alpha $ — начальная фаза колебаний; $<\varphi >_0$ — амплитуда колебаний; $<\omega >_0$ — циклическая частота.

Колебания гармонического осциллятора — это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.

Циклическая частота и период колебаний математического маятника

Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:

Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:

Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.

Уравнение энергии для математического маятника

При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:

где $E_k$ — кинетическая энергия маятника; $E_p$ — потенциальная энергия маятника; $v$ — скорость движения маятника; $x$ — линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол — смещение связан с $x$ как:

Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:

Максимальная величина кинетической энергии:

где $h_m$ — максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m=<\omega >_0x_m$ — максимальная скорость.

Примеры задач с решением

Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла $v$?

Решение. Сделаем рисунок.

Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:

Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:

Ответ. $h=\frac<2g>$

Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1\ м$, совершает колебания с периодом равным $T=2\ с$? Считайте колебания математического маятника малыми.\textit<>

Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:

Выразим из нее ускорение:

Проведем вычисления ускорения силы тяжести:

Ответ. $g=9,87\ \frac<м><с^2>$

Источник

Период колебаний математического маятника

Характеристики гармонических колебаний

Повторяющиеся движения или процессы называют колебаниями. Самым простым для описания видом колебаний являются гармонические колебания.

Самым простым для описания видом колебаний являются гармонические колебания.

Гармоническими колебаниями называют колебания, при которых переменная величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса. Пусть происходят гармонические колебания некоторого параметра $s$, тогда они описываются уравнением:

где $A=s_$ — амплитуда колебаний; $<\omega >_0$ — циклическая (круговая) частота колебаний; $\varphi $ — начальная фаза колебаний (фаза при $t=0$); $(<\omega >_0t+\varphi )$ — фаза колебаний. Величина $s$ лежит в пределах $-A\le s\le $+A.

Промежуток времени, через который повторяются определенные состояния системы (T) называют периодом. За время равное периоду колебаний фаза изменяется на величину равную $2\pi $, поэтому:

Разные процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени (периодические процессы) можно представить в виде совокупности наложенных гармонических колебаний.

Математическим маятником называют физический маятник, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника. Чаще всего математический маятник рассматривают как шарик, который подвешен на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику считают тяжелый маленький шарик, совершающий колебания на тонкой длинной нити.

Математический маятник и период его колебания

Математическим маятником называют физический маятник, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.

Чаще всего математический маятник рассматривают как шарик, который подвешен на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику считают тяжелый маленький шарик, совершающий колебания на тонкой длинной нити.

Первым, свойства математического маятника изучал Галилей, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Галилей установил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будет происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.

Если длина маятника постоянна, но изменяются массы грузов, прикрепленных к подвесу, то период колебаний маятника не изменится. Период колебаний математического маятника не зависит от массы груза.

Формула для периода колебаний математического маятника

Груз, подвешенный к нити маятника, движется по дуге окружности с ускорением, под воздействием некоторой возвращающей силы, которая изменяется при его движении. Сила непостоянная, из-за чего расчет движения может приводить к значительным сложностям. Введем некоторые упрощения. Пусть маятник реализует не колебания в плоскости, а описывает конус (рис.1), при этом груз движется по окружности. Период интересующих нас колебаний будет совпадать с периодом конического движения груза. Период обращения конического маятника равен времени, которое затрачивает груз на один оборот по окружности:

где $l$ — длина окружности; $v$ — скорость движения груза по окружности. В случае небольших углов отклонения нити от вертикали (малые амплитуды) можно полагать, что возвращающая сила ($F_1$) направлена по радиусу окружности, которую описывает груз. Тогда эта сила равна центростремительной силе:

С другой стороны рис.1:

Приравниваем правые части выражений (4), выражаем скорость движения груза:

Полученную скорость подставим в формулу (3), имеем:

Мы видим, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.

Зависимость периода колебаний математического маятника от ускорения свободного падения дает основания для точного практического определения этого ускорения.

Единицей измерения периода служит единица времени — секунда:

Примеры задач с решением

Задание. Каков период математического маятника, если точка его подвеса движется горизонтально с ускорением $a=2,5\ \frac<м><с^2>$, длина нити этого маятника равна $l=0,5\ $м?

Решение. Сделаем рисунок.

Период математического маятника, который совершает колебания и у которого точка подвеса движется с ускорением можно найти как:

где из рис.2 видно, что модуль ускорения $a_p$ равен:

Подставим правую часть формулы (1.2) вместо соответствующего ускорения в (1.1), имеем:

Вычислим период этого маятника:

Заданиею Чему равен период математического маятника, если в первом примере точка его подвеса движется в горизонтальном направлении равномерно?

Решениею В этом случае, период математического маятника вычисляем по формуле:

Источник

Период колебаний математического маятника

Математический маятник — что это такое

Маятник — твердое тело, которое совершает под действием приложенных сил механические колебания около неподвижной точки или оси.

Простейший маятник состоит из небольшого груза массой m, подвешенного на невесомой нити или тонком стержне длиной l и совершающего колебания под воздействием земного притяжения. Если нить считать нерастяжимой, размер груза незначительным по сравнению с длиной нити, а массу нити незначительной по сравнению с массой груза, то груз можно считать материальной точкой массой m, находящейся на постоянном расстоянии l от точки подвеса. Такой маятник называют математическим.

Определение модели системы

Математические модели динамических систем часто используют для анализа самых разных технических, социально-экономических, естественнонаучных систем, в которых происходят циклические процессы.
Существуют различные классификации динамических процессов. Одна из них изображена на схеме:

Маятник Фуко

Маятник Фуко — подвес, плоскость колебаний которого со временем изменяется. Он был создан для экспериментальной демонстрации суточного вращения Земли. Впервые опыт, доказывающий, что Земля вращается, был проведен французским ученым Жаном Фуко в 1851 году в Парижской обсерватории. Маятник имел вид металлического шара массой 28 кг, подвешенного на нити длиной 67 м. Период его колебаний составлял 16,4 с.
Наблюдая за его колебаниями, можно было заметить, что плоскость, в которой они происходят, медленно поворачивается, причем в разных местах земного шара с различной скоростью. Она минимальна, т. е. равна нулю, на экваторе планеты, а максимальна — на ее полюсах.
Если мы обозначим период вращения Земли вокруг ее оси Т, а географическую широту местности — φ , тогда время t, за которое плоскость колебаний маятника совершает полный оборот, окажется равно

Отсюда следует, что если бы Земля не вращалась, данного эффекта просто не существовало бы. Это обстоятельство указывает на то, что причиной неинерциальности земной системы отсчета является вращение планеты.

Центробежное ускорение на экваторе равно 0,034 м/с^2. По сравнению с экваториальным ускорением свободного падения g = 9,78 м/с^2 это величина малая, но она заметно влияет на изменение веса тела на экваторе по сравнению с его весом на полюсе. Если, например, взвешивать на пружинных весах тело массой 10 кг, то уменьшение веса на экваторе за счет действия центробежной силы составит около 35 г.

Период колебаний математического маятника

Период колебаний — время, за которое происходит одно полное колебание. В СИ измеряется в секундах.

Чему равен, от чего зависит частота

Если за время t совершается N колебаний, то период, обозначаемый буквой T, равен

где v — частота колебаний. Она обратно пропорциональна периоду.
Колебания можно изобразить в виде графика:

Источник: physik.ucoz.ru.
Период колебаний математического маятника можно рассчитать по формуле

g — ускорение свободного падения. Не зависит от амплитуды колебаний и массы груза.

Циклическая частота — число колебаний, которые система совершает за 2 π секунды. Также циклическую частоту называют угловой, круговой или радиальной. Кратко ее записывают греческой буквой ω . Она позволяет упростить расчеты с использованием радианов, так как при ее введении сокращаются множители 2 π .

В случае математического маятника она определяется длиной подвеса и ускорением свободного падения:

Для физического маятника в уравнение добавляются инерция и масса подвеса:

Для пружинного маятника частоту определяет жесткость пружины k:

Уравнения движения и их решение, формулы с примерами

Математический маятник — это материальная точка, имеющая массу m и подвешенная на нити с неизменяемой длиной l. Покидая положение равновесия, подвес совершает колебательные движения по дуге.

Источник: osu.ru.
Угловое ускорение ε — вторая производная от угла поворота α , вращающий момент относительно точки А создает только сила тяжести:

M = — m g × l sin α .

Угол отклонения мал, поэтому мы учитываем только то, что он отрицателен. Синус угла α считаем приблизительно равным α . Тогда:

m l 2 × α ‘ ‘ = — m g l α ;

Это дает нам дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Из уравнения следует, что при малых углах отклонения от положения равновесия маятник будет колебаться с периодом

T = 2 π ω = 2 π l g .

Все кинематические характеристики движения меняются по гармоническим законам, т. е. по закону синуса или косинуса. Рассмотрим, от чего зависят константы амплитуды А и начальной фазы движения φ 0 .
Амплитуда колебаний определяется энергией, переданной маятнику при отклонении от положения равновесия. В случае пружинного маятника в крайнем положении скорость груза и кинетическая энергия равны нулю, полная энергия состоит только из потенциальной энергии:

E п о л н а я = k A 2 2 .

Из этого следует, что

А = 2 E п о л н а я k .

Начальная фаза зависит от того, как маятник вывели из положения равновесия. Рассмотрим ситуацию, в которой маятник отклонили от положения равновесия на расстояние А и отпустили без начальной скорости. Запишем уравнение движения колеблющегося тела с учетом того факта, что в начальный момент координата тела будет равна А:

x = A × cos ω t + φ 0 ;

x ( 0 ) = A × cos ω × 0 + φ 0 = A × cos φ 0 = А ⇒ cos φ 0 = 1 ⇒ φ 0 = 1 .

Уравнение движения маятника:

Если маятник толкнули, когда он находился в положении равновесия, начальная координата колеблющейся точки будет равна нулю:

x ( 0 ) = A × cos ω × 0 + φ 0 = A × cos φ 0 = 0 ⇒ cos φ 0 = 0 ⇒ φ 0 = ± π 2 .

Будет ли начальная координата положительной или отрицательной, определяет выбор положительного направления оси. Если направление оси совпадет с направлением начальной скорости, то в уравнении движения будет знак «плюс», если не совпадет — знак «минус».

Уравнение движения маятника:

x ( 0 ) = A × cos ω t ± π 2 = ± A × sin ω t .

Рассмотрим задачи, для которых требуется составлять и решать уравнения движения.

Необходимо определить амплитуду и частоту колебаний точки, если известно, что при смещении точки от положения равновесия на 5 см ее скорость равна 6 см/с, а при смещении на 3 см — 10 см/с.

x = A × cos ω t + φ 0 v x = x ‘ = — A ω × sin ω t + φ 0

Исключаем время из системы:

x = A × cos ω t + φ 0 v x = x ‘ = — A ω × sin ω t + φ 0 ⇒ x = A × cos ω t + φ 0 v x ω = — A × sin ω t + φ 0 ⇒ x 2 = A 2 × cos 2 ω t + φ 0 v 2 ω 2 = A 2 × sin 2 ω t + φ 0

x 2 + v 2 ω 2 = А 2 .

x 2 А 2 + v 2 v 2 m a x = 1 .

x 1 2 + v 1 2 ω 2 = А 2 x 2 2 + v 2 2 ω 2 = А 2

Преобразовав выражения и подставив значения, данные в условиях задачи, получаем:

ω = v 2 2 — v 1 2 x 1 2 — x 2 2 = 2 c — 1 ;

A = x 1 2 v 2 2 — x 2 2 v 1 2 v 1 2 — v 2 2 ≈ 5 , 57 с м ;

v = ω 2 π ≈ 0 , 32 Г ц .

Необходимо вычислить циклическую частоту колебаний точки, если известно, что при скорости 13 см/с ускорение равнялось 6 см/с^2, а при уменьшении скорости до 12 см/с произошло увеличение ускорения до 10 см/с^2.

Решение:
Координата точки меняется по закону

Запишем уравнения скорости и ускорения точки:

v x = — A × ω × sin ω t a x = — A × ω 2 × cos ω t ⇒ v x A ω = — sin ω t a x A ω 2 = — cos ω t ⇒ v 2 ω 2 + a 2 ω 4 = A 2 .

Преобразуем уравнение, исключив из него А, и подставим значения, данные в условиях задачи:

ω = a 2 2 — a 1 2 v 1 2 — v 2 2 = 1 , 6 c — 1 .

Практическое применение математического маятника

С помощью математического моделирования динамических систем можно обнаружить схожесть динамических процессов в реальных физических, технических, биологических, химических и социально-экономических системах. Разработка моделей, позволяющих предсказывать время и другие характеристики периодических процессов в этих системах, является эффективным способом анализировать, например, сельскохозяйственные или производственно-экономические процессы.

Источник