Как вывести формулу объема пирамиды

Объем пирамиды

Теорема. Объём пирамиды равен произведению площади её oснования на треть её высоты.

Сначала докажем эту теорему для пирамиды треугольной, а затем и многоугольной.

1) На основании треугольной пирамиды SABC (черт. 102) построим такую призму SABCDE, у которой высота равна высоте пирамиды, а одно боковое ребро совпадает с ребром SB. Докажем, что объём пирамиды составляет третью часть объёма этой призмы. Отделим от призмы данную пирамиду. Тогда останется четырёхугольная пирамида SADEC (которая для ясности изображена отдельно). Проведём в ней секущую плоскость через вершину S и диагональ основания DC. Получившиеся от этого две треугольные пирамиды имеют общую вершину S и равные основания DEC и DAC, лежащие в одной плоскости; значит, согласно доказанной выше лемме пирамиды эти равновелики. Сравним одну из них, именно SDEC, с данной пирамидой. За основание пирамиды SDEC можно взять \(\Delta\)SDE; тогда вершина её будет в точке С и высота равна высоте данной пирамиды. Так как \(\Delta\)SDE = \(\Delta\)АВС, то согласно той же лемме пирамиды SDEC и SABC равновелики.

Призма ABCDES нами разбита на три равновеликие пирамиды: SABC, SDEC и SDAC. (Такому разбиению, очевидно, можно подвергнуть всякую треугольную призму. Это является одним из важных свойств треугольной призмы.) Таким образом, сумма объёмов трёх пирамид, равновеликих данной, составляет объём призмы; следовательно,

где Н есть высота пирамиды.

2) Через какую-нибудь вершину Е (черт. 103) основания многоугольной пирамиды SABCDE проведём диагонали ЕВ и ЕС.

Затем через ребро SE и каждую из этих диагоналей проведём секущие плоскости. Тогда многоугольная пирамида разобьётся на несколько треугольных, имеющих высоту, общую с данной пирамидой. Обозначив площади оснований треугольных пирамид через b₁, b₂ , b₃ и высоту через Н, будем иметь:

Следствие. Если V, В и Н означают числа, выражающие в соответствующих единицах объём, площадь основания и высоту какой угодно пирамиды, то

Теорема. Объём усечённой пирамиды равен сумме объёмов трёх пирамид, имеющих высоту, одинаковую с высотой усечённой пирамиды, а основаниями: одна — нижнее основание данной пирамиды, другая — верхнее основание, а площадь основания третьей пирамиды равна среднему геометрическому площадей верхнего и нижнего оснований.

Пусть площади оснований усечённой пирамиды (черт. 104) будут В и b, высота Н и объём V (усечённая пирамида может быть треугольная или многоугольная — всё равно).

Требуется доказать, что

где √ Bb есть среднее геометрическое между B и b.

Для доказательства на меньшем основании поместим малую пирамиду, дополняющую данную усеченную пирамиду до полной. Тогда объём усечённой пирамиды V мы можем рассматривать как разность двух объёмов — полной пирамиды и верхней дополнительной.

Обозначив, высоту дополнительной пирамиды буквой х, мы найдём, что

Для нахождения высоты х воспользуемся теоремой из раздела, согласно которой мы можем написать уравнение:

Для упрощения этого уравнения извлечём из обеих частей его арифметический квадратный корень:

Из этого уравнения (которое можно рассматривать как пропорцию) получим:

Подставив это выражение в формулу, выведенную нами для объёма V, найдём:

Так как В — b = (√ B + √ b ) (√ B — √ b ), то по сокращении дроби на разность √ B — √ b получим:

т. е. получим ту формулу, которую требовалось доказать.

Источник

Геометрические приложения определенного интеграла

Формулы для вычисления площадей фигур на плоскости, длин дуг кривых на плоскости, площадей поверхностей тел вращения и объемов тел с помощью определенного интеграла

Примеры решения задач на вычисление площадей фигур на плоскости

Пример решения задачи на вычисление длины дуги кривой на плоскости

Вывод формул для объема пирамиды и для объема шара

Вывод формулы для площади сферы

Формулы для вычисления площадей фигур на плоскости, длин дуг кривых на плоскости, площадей поверхностей тел вращения и объемов тел с помощью определенного интеграла

В данном разделе справочника приведена таблица, содержащая формулы, с помощью которых можно вычислить:

Площади криволинейных трапеций различного вида (площади фигур, ограниченных графиками функций);

Длины дуг кривых на плоскости;

Объемы тел, если известны площади их поперечных сечений;

Объемы тел, полученных при вращении криволинейных трапеций вокруг оси абсцисс Ox ;

Площади поверхностей тел, полученных при вращении графиков функций вокруг оси абсцисс Ox .

a Ox ,
а с боков – отрезками прямых

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху осью Ox , снизу – графиком функции

a Ox ,
а с боков – отрезками прямых

Объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции

a Ox ,
а с боков – отрезками прямых

вокруг оси Ox

Площадь поверхности тела, полученного при вращении графика функции

y = f (x), f (x) > 0, ,

вокруг оси Ox

a Ox ,
а с боков – отрезками прямых

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху осью Ox , снизу – графиком функции

a Ox ,
а с боков – отрезками прямых

a S (x) , .

Плоскость каждого поперечного сечения перпендикулярна оси Ox

Объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции

a Ox ,
а с боков – отрезками прямых

вокруг оси Ox

Площадь поверхности тела, полученного при вращении графика функции

y = f (x), f (x) > 0, ,

вокруг оси Ox .

Применение формул, перечисленных в таблице, проиллюстрировано на примерах, содержащих, в частности, вывод формулы объема пирамиды, формул объема шара и площади сферы.

Примеры решения задач на вычисление площадей фигур на плоскости

Пример 1 . Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение . Рассматриваемая фигура (рис. 1) состоит из двух частей: треугольника OAB и криволинейной трапеции ABCD.

Пример 2 . Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 2

Решение . Площадь криволинейной трапеции ABCD вычисляется с помощью формулы для площади криволинейной трапеции с f (x)

.

Ответ . .

Пример решения задачи на вычисление длины дуги кривой на плоскости

Пример 3 . Найти длину дуги графика функции

, 8 .

Решение . График рассматриваемой функции изображен на рисунке 3

Для вычисления длины дуги AB нужно, в соответствии с формулой для длины дуги графика функции, вычислить определенный интеграл

Рисунок	Формула	Описание

(1)

Подставим найденную производную в формулу (1), а затем вычислим полученные интегралы при помощи таблицы неопределенных интегралов и формулы Ньютона — Лейбница:

Ответ .

Вывод формул для объема пирамиды и для объема шара

Решение . Рассмотрим произвольную n — угольную пирамиду BA₁A₂ . A_n с вершиной B, высота BK которой равна H, а площадь основания A₁A₂ . A_n равна S. Обозначим через S (x) площадь сечения этой пирамиды плоскостью, параллельной параллельной основанию пирамиды и находящейся на расстоянии расстоянии x от вершины пирамиды B (рис. 4).

Поскольку многоугольники и A₁A₂ . A_n подобны с коэффициентом подобия , то площади этих многоугольников удовлетворяют равенству

(2)

Рассмотрим теперь в пространстве систему координат Oxyz и расположим нашу пирамиду BA₁A₂ . A_n так, чтобы ее вершина B совпала с началом координат O, а высота пирамиды BK оказалась лежащей на оси Ox (рис. 5).

Тогда сечение пирамиды и будет поперечным сечением, поскольку его плоскость перпендикулярна оси Ox.

Итак, мы получили формулу для объема пирамиды

котрой пользовались в различных разделах справочника.

Замечание . Совершенно аналогично выводится формула для объема конуса. Формулы для объема прямой призмы объема прямой призмы и для объема цилиндра вывести таким способом еще проще, поскольку у них все сечения, перпендикулярные высоте, равны между собой. Мы рекомендуем провести эти выводы читателю самостоятельно в качестве полезного упражнения.

Пример 5 . Вывести формулу для объема шара радиуса R, воспользовавшись формулой для вычисления объема тела вращения.

(3)

графиком которой является верхняя полуокружность радиуса R с центром в начале координат O. Шар радиуса R получается в результате вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции (3) и ограниченной снизу отрезкомоси Ox (рис. 6).

что и должно было получиться.

Вывод формулы для площади сферы

Решение . Снова рассмотрим функцию

(4)

графиком которой является верхняя полуокружность радиуса R с центром в начале координат O (рис. 7).

Поскольку сфера радиуса R получается в результате вращения вокруг оси Ox графика функции (4), то в соответствии с формулой для вычисления площади поверхности тела вращения получаем

Подставим найденную производную в выражение, стоящее под знаком квадратного корня:

Таким образом, подынтегральная функция принимает вид:

Источник