Как вывести формулы баллистического движения
Цель работы: изучение движения тела, брошенного под углом к горизонту; определение времени, дальности и высоты полета.
Если тело бросить под углом к горизонту, то в полете на него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Если силой сопротивления пренебречь, то остается единственная сила – сила тяжести. Поэтому вследствие 2-го закона Ньютона тело движется с ускорением, равным ускорению свободного падения 
; проекции ускорения на координатные оси равны ах = 0, ау = -g.
Любое сложное движение материальной точки можно представить как наложение независимых движений вдоль координатных осей, причем в направлении разных осей вид движения может отличаться. В нашем случае движение летящего тела можно представить как наложение двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси Х) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (оси Y) (рис. 1).
Проекции скорости тела, следовательно, изменяются со временем следующим образом:
где 
– начальная скорость, α – угол бросания.
Координаты тела, следовательно, изменяются так:
При нашем выборе начала координат начальные координаты 
(рис. 1) Тогда
 | (1) |
Проанализируем формулы (1). Определим время движения брошенного тела. Для этого положим координату y равной нулю, т.к. в момент приземления высота тела равна нулю. Отсюда получаем для времени полета:
 . | (2) |
Второе значение времени, при котором высота равна нулю, равно нулю, что соответствует моменту бросания, т.е. это значение также имеет физический смысл.
Дальность полета получим из первой формулы (1). Дальность полета – это значение координаты х в конце полета, т.е. в момент времени, равный t0. Подставляя значение (2) в первую формулу (1), получаем:
 . | (3) |
Из этой формулы видно, что наибольшая дальность полета достигается при значении угла бросания, равном 45 градусов.
Наибольшую высоту подъема брошенного тела можно получить из второй формулы (1). Для этого нужно подставить в эту формулу значение времени, равное половине времени полета (2), т.к. именно в средней точке траектории высота полета максимальна. Проводя вычисления, получаем
 . | (4) |
Из уравнений (1) можно получить уравнение траектории тела, т.е. уравнение, связывающее координаты х и у тела во время движения. Для этого нужно из первого уравнения (1) выразить время:
и подставить его во второе уравнение. Тогда получим:
Это уравнение является уравнением траектории движения. Видно, что это уравнение параболы, расположенной ветвями вниз, о чем говорит знак «-» перед квадратичным слагаемым. Следует иметь в виду, что угол бросания α и его функции – здесь просто константы, т.е. постоянные числа.
Источник
Баллистическое движение
Расчет неизвестных параметров баллистического движения по известным. Параметры: дальность полета, высота полета, длительность полета, угол броска, начальная скорость.
Калькулятор ниже предназначен для решении задач школьного курса физики на баллистическое движение. Баллистическое движение — движение тела в пространстве под действием внешних сил, в данном случае речь идет только о силе тяжести.
Параметры баллистического движения изображены на картинке, это:
дальность полета ,
максимальная высота полета ,
длительность полета ,
угол броска ,
начальная скорость .
Основные формулы, определяющие баллистическое движение:
, ,
Формулы выводятся из формул для скорости и расстояния при равноускоренном движении, в предположении, что по оси х на тело не действует никакое ускорение, а по оси y на тело действует ускорение свободного падения g.
Калькулятор позволяет рассчитать неизвестные параметры баллистического движения по известным.
То есть, если задать угол броска и начальную скорость, то калькулятор найдет дальность полета, время полета и максимальную высоту, на которую поднимется тело. Если задать время полета и дальность полета, то калькулятор найдет начальную скорость, угол броска и максимальную высоту, и так далее.
Единственная неопределенная комбинация — это время полета и высота полета. Зная только эти параметры, рассчитать остальные невозможно.
Источник
Движение тела, брошенного под углом к горизонту (бросок)
Движение тела, брошенного под углом к горизонту, — движение тела в двумерной системе координат (по двум осям) при изначальном направлении начальной скорости под углом к горизонту. Данное движение является сложным видом механического движения с криволинейной траекторией. Такие типы движений принято рассматривать в проекции на оси выбранной системы координат. В нашем конкретном случае возьмём декартову систему координат и запустим тело под углом к оси ОХ (рис. 1).
Рис. 1. Тело бросили под углом к горизонту
Классическая постановка задач на подобную тематику: тело бросили под углом к горизонту с начальной скоростью , найти различные параметры движения.
Первое, что мы сделаем, это попробуем данное сложное движение представить как сумму простых (рис. 2).
Рис. 2. Тело бросили под углом к горизонту (максимальная высота подъёма, путь по горизонтали, движение)
Рассмотрим само движение. После броска траектория движущегося тела представляет собой параболу (докажем позже). Выберем произвольную точку на параболе и укажем ускорение, с которым движется тело в данный момент (ускорение свободного падения). Направление данного ускорения — вертикально вниз. Проекции данного ускорения на ось ОХ ( (м/ ), а на ось OY ( (м/ ).
Тогда, вдоль оси ОХ, тело движется равномерно (т.к. ускорение вдоль этой оси равно 0). Более сложным является движение тела вдоль оси OY: между точками A и B тело движется замедляясь, при этом движение равнозамедленное. Между точками B и C движение равноускоренное (рис.2, подписи). Исходя из установленного вида движения, можем решать задачу.
Рис. 3. Тело бросили под углом к горизонту (проекции скоростей)
Для рассмотрения движения тела вдоль осей, введём начальные скорости движения тела вдоль выбранных нами осей (рис. 3). На рисунке представлена часть траектории в самом начале движения. Начальные скорости движения вдоль осей обозначим и . Исходя из треугольника, катетами которого являются наши проекции (можно построить параллельным переносом), а гипотенузой — модуль вектора начальной скорости ( ), можем найти значения необходимых нам проекций:
Вернёмся к рисунку 2. Попробуем найти полное время полёта ( ). Для этого воспользуемся тем, что вдоль оси OY тело движется равнозамедленно, а в точке B движение вдоль этой оси и вовсе останавливается. Таким образом, конечная скорость в этой точке вдоль оси OY равна 0. Тогда, исходя из движения:
— т.к. время движения от точки А до B, и от B до C одинаково. Тогда:
Перейдём к вопросу о максимальной дальности броска в горизонтальном направлении ( ).
Вдоль горизонта тело движется равномерно (рис. 2). Тогда путь, проделанный телом за время :
А с учётом (1) и (5):
Перейдём к максимальной высоте полёта ( ). Данный параметр связан с движением тела вдоль оси OY, которое, как мы выяснили, является равноускоренным/равнозамедленным. Рассмотрим участок BC: для него вдоль соответствующей оси тело без начальной скорости движется с ускорением ( ) в течение времени , формируем уравнение:
Таким образом, ряд параметров движения при броске под углом к горизонту можно вычислить, зная лишь начальные параметры броска.
Рис. 4. Тело бросили под углом к горизонту (конечная скорость)
Далее попробуем найти конечную скорость движения (при таких движениях, конечная скорость — скорость при подлёте к Земле). Рассмотрим конечную точку движения С (рис. 4). Скорость тела направлена под неким углом . Построим проекции данного вектора на оси OX и OY. На основании построенного треугольника реализуем теорему Пифагора для поиска модуля полной конечной скорости:
Найдём компоненты вектора . Т.к. движение вдоль оси OX равномерное, значит, , используя (1):
Движение вдоль оси OY от точки B в точку C равноускоренное, причём, без начальной скорости за время , тогда:
Используя (5), получим:
Подставим (12) и (13) в (10):
Для избавления от тригонометрических функций мы воспользовались основным тригонометрическим тождеством. Таким образом, доказано, что конечная скорость такого движения равна начальной, кроме того, из треугольника видно, что тело подлетело к земле под углом .
Вывод:
- для движения тела, брошенного под углом к горизонту, выведены добавочные формулы: (5), (7), (9), которые могут существенно упростить решение задачи.
- представлен один из общих способов нахождения скорости при криволинейном движении (через теорему Пифагора и поиск компонент вектора).
Источник
Движение тела брошенного под углом к горизонту
Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Полный разбор движения. Вывод формул 
Это движение представляет собой совокупность двух видов движения:
- равномерного движения по оси X (горизонтально): скорость v=const , т.к. ускорение a=0
- равнопеременного по оси Y (вертикально): скорость v=v0+at , т.к. ускорение а=-g
Как же найти скорость?
Сначала найдем скорости по X и по Y отдельно.
- Чтобы найти скорость по оси X, которая будет постоянная на всем пути, определим проекцию V0 на ось X:
Проекция V0 на ось Х – это прилежащий к углу α катит:
Т.к. Vx – постоянна, поэтому:
- Чтобы найти скорость по оси Y, которая будет меняться, определим проекцию V0 на ось Y, это будет начальная скорость по вертикальной оси:
Проекция V0 на ось Y – это противолежащий к углу α катит:
Так как Vy, как мы уже говорили, равнопеременная скорость, то:
Учитывая, что ускорение направлено против вертикальной оси (а=-g), и подставляя V0y получим:
Зная проекции скорости, можем ли мы восстановить саму скорость? (зная катеты треугольника можем ли мы найти гипотенузу?)
Конечно! Теорема Пифагора.
Скорость – дело понятное, как же быть с пройденным путем? Очень просто.
Так как мы сказали, что имеем дело с двумя видами движения в одном, а значит и пути у каждого из видов движения будут разные:
- Горизонтального движение по оси Х равномерное, путь при равномерном движении:
Обозначим путь по Х за Х и подставим нашу скорость вместо V, получим:
- Вертикальное движение по оси Y равнопеременное, путь при равнопеременном движении:
Аналогично, обозначим путь по Y за Y, подставим нашу скорость вместо V0 и ускорение а=-g получим:
ВАЖНО! Часто в задачах встречается ситуация, когда нужно найти высоту подъема или дальность полета .
Высота подъема находится очень просто. Все что нужно для решения большинства задач находится в получившихся уравнениях:
Верхняя точка отличается тем, что в ней происходит изгиб. Происходит этот изгиб из-за ускорения свободного падения. Полная скорость , т.к. она направлена по касательной, становится направленной горизонтально , а значит проекция полной скорости по Y равна нулю:
Запишем концовку предыдущего уравнения и выразим время — время в этой формуле соответствует той же самой верхней точке , назовем его – время подъема (tп) .
Высота подъема – это координата Y, поэтому вставляем tп в уравнение для Y и получаем искомую высоту собственной персоной:
Преобразуем и получим высоту подъема:
Дальность полета – это координата Х в точке падения, поэтому время уже накопится в два раза больше:
Аналогично подставим время в формулу для координаты Х:
Применим формулу из триганометрии: 2sin cos = sin, применим и получим:
Источник
