Как вывести наименьшее число алгоритм

Как найти наибольшее и наименьшее число в Python

В этом посте мы рассмотрим алгоритм на языке Python для получения большего из 3 чисел, а также меньшего из 3 чисел.

С помощью метода, который мы рассмотрим, позже мы сможем получить большее из 4, 5, 6 или бесконечного числа, а также наименьшее из них.

Пояснение алгоритма

Мы будем использовать оператор if , но со списками или массивами. Не волнуйтесь, в этом нет ничего сложного.

Если бы мы использовали только операторы if и else , то код был бы очень длинным и обрывался бы при наличии 4, 5 или более чисел.

Что мы делаем, так это помещаем числа в список и просматриваем его, чтобы выяснить, какое из них самое большое.

Мы определяем переменную под названием largest , которая будет хранить наибольшее число, первоначально в первом элементе списка. На каждой итерации, если текущее число (то, которое находится в цикле) больше, чем переменная greater , то переменная greater устанавливается равной текущему числу.

Таким образом, не будет иметь значения, сколько чисел сравнивать. То же самое делается, чтобы узнать наименьшее из 3 или более чисел.

Наибольшее из 3 чисел с помощью Python

Вот код, про который я говорил. Мы используем функцию input для считывания данных, затем передаем их в float для преобразования строки в float и, наконец, вызываем append для добавления этого значения в список.

Затем мы просматриваем список и делаем то, что описано выше. В конце мы выводим наибольшее число.

Наименьшее из 3 чисел с помощью Python

Просто измените оператор, который сравнивает с minor , алгоритм тот же.

Больше цифр

Если вы хотите сравнить больше чисел, просто измените значение диапазона.

Похожие записи

В этой статье о Python мы рассмотрим, как получить наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел.…

Некоторое время назад у меня возникла ошибка при вызове https-адреса в pyhon. После долгих поисков…

JSON позволяет быстро и просто работать с несколькими данными: в различных приложениях и языках программирования.…

Источник

Поиск наибольшего и наименьшего числа в списке в Python

Вы можете найти наибольший номер списка в Python, используя функцию sort() или более простой цикл for.

Использование функции sort() довольно лаконично, но использование цикла For является наиболее эффективным. Мы рассмотрим эти два подхода на примерах.

Пример 1

Мы знаем, что встроенная функция sort() сортирует список в порядке возрастания или убывания. После сортировки списка у вас будет самый большой номер в конце списка, если вы отсортировали его в порядке возрастания, или в начале списка, если вы отсортировали его в порядке убывания.

В следующем примере мы отсортируем данный список в порядке возрастания. Конечно, последний номер отсортированного списка – это самый большой номер.

a [-1] выбирает последний элемент в списке.

Пример 2: с помощью цикла For

Хотя найти наибольшее число с помощью функции sort() легко, использование цикла For делает это относительно быстрее с меньшим количеством операций.

В этом примере мы приняли список и инициализировали переменную ln с наибольшим числом первым элементом списка. Если в списке нет элементов, ln инициализируется значением None.

Повторяйте цикл для каждого элемента в списке. Во время каждой итерации мы проверяем, меньше ли наибольшее число этого элемента. В этом случае мы обновляем самое большое число с помощью элемента.

Когда вы завершите обход списка, вы получите наибольший номер списка в вашей переменной.
Вы можете найти наименьший номер списка в Python, используя функцию min(), функцию sort() или цикл for.

Мы рассмотрим следующие процессы, чтобы найти наименьшее число в списке, с примерами:

• встроенную функцию min();
• функцию сортировки sort();
• Цикл For.

Выберите один, исходя из требований вашей программы или ваших личных рекомендаций по производительности.

Пример 1: с помощью min()

Функция min() может принимать список в качестве аргумента и возвращать минимум элементов в списке.

В этом примере мы возьмем список чисел и найдем наименьшее из них с помощью функции min().

Пример 2: с помощью функции sort()

Мы знаем, что функция sort() сортирует список в порядке возрастания или убывания. После сортировки списка у вас будет наименьшее число в начале списка, если вы отсортировали его в порядке возрастания, в конце списка или в порядке убывания.

Пример 3: с помощью цикла for

Хотя найти наименьшее число с помощью функции sort() легко, использование For цикла делает это относительно быстрее с меньшим количеством операций. Кроме того, мы не меняем порядок элементов в данном списке.

В этом примере:

1. Мы приняли список и инициализировали переменную с наибольшим числом для первого элемента списка. Если список пуст, наименьшее число будет None.
2. Затем мы перебирали список, используя цикл for:
   • Во время каждой итерации мы проверяли, больше ли наименьшее число, чем элемент. Если это так, мы присвоили элементу наименьший номер.
3. Когда вы завершите обход списка, вы получите наименьший номер списка в вашей переменной.

Источник

Алгоритмы над целыми числами. Проверка на простоту, разложение на множители. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное: алгоритм Евклида. Признак Паскаля. Расширенный алгоритм Евклида

Алгоритмы над целыми числами применяются при решении множества задач: для сокращения дробей, разложения на множители.

Алгоритм Евклида для нахождения НОД

Свой алгоритм Евклид (древнегреческий математик, живший примерно в 300 г. до н.э.) придумал для решения задачи о соизмеримости двух отрезков. Общей мерой (единицей измерения) отрезков с длинами $L_1$ и $L_2$ является отрезок с наибольшей возможной длиной $L$, который можно уложить без остатка как в первом отрезке, так и во втором. Например, для отрезков 10 и 15 такой общей мерой будет отрезок с длиной 5 (им можно пользоваться как единицей измерения для обоих отрезков). При этом 5 будет наибольшим общим делителем 10 и 15.

В общем случае, алгоритм Евклида — это метод нахождения наибольшего общего делителя (НОД) нескольких чисел.

Целое число $a$ делится на целое число $b$ ($b \ne 0$), если существует целое число $k$, такое что $a=kb$. В таком случае $b$ называют делителем числа $a$; число $a$ называют кратным числа $b$.

Если $a$ и $b$ делятся на $c$, то их сумма $a+b$ и их разность $a-b$ делятся на $c$.

Если $a$ делится на $c$, а $b$ делится на $d$, то их произведение $a*b$ делится на $c*d$.

$a$ и $b$ – положительные целые числа, $c$ — является общим делителем чисел $a$ и $b$, если $a$ делится на $c$ и $b$ делится на $c$.

Среди общих делителей чисел $a$ и $b$ (не равных одновременно нулю) есть наибольший общий делитель (по-английски Greatest common divisor — GCD), обозначаемый НОД($a,b$) или $GCD(a,b)$.

Если $a$ делится на $b$, то $GCD(a,b) = b$. Например: $GCD(50,10)=10$.

$GCD(a,a)=a$. Например: $GCD(32,32)=32$.

Если $a \gt b$, то $GCD(a,b)=GCD(a-b,b)$.

Если $GCD(a,b)=1$, то числа $a$ и $b$ — взаимно простые.

Алгоритм Евклида с вычитаниями

Последовательно вычитая из большего числа меньшее до тех пор, пока они не станут равными, придем к НОД этих чисел.

Пример: Найти НОД двух чисел 264 и 192.

Решение: НОД(264, 192) = НОД(72, 192) = НОД(72, 120) = НОД(72, 48) = НОД(24, 48) = НОД(24, 24) = 24

Задача. Найти НОД двух натуральных чисел $a$ и $b$.

Используем для решения задачи алгоритм Евклида с вычитаниями.

Реализация на Pascal:

Алгоритм Евклида с делением

Если применить алгоритм Евклида с вычитаниями к паре чисел $(1,10^<20>)$, то будет выполнено около $10^<20>$ вычитаний, это слишком долго!

Можно за один раз вычитать из $a$ $b$ столько раз, сколько можно. Алгоритм Евклида с делением основан на том, что если $a=bq+r$, где $r$ — остаток от деления $a$ на $b$ ($0 \le r

Рассмотрим алгоритм и процедуру-функцию к решению задачи 1.1, используя для нахождения НОД двух чисел алгоритм Евклида с делением.

Реализация на Pascal :

Вычислить НОД трех натуральных чисел $a$, $b$ и $c$ можно так:

В общем случае, справедлива следующая рекуррентная формула:

$GCD(a_1,a_2. a_n) = GCD(GCD(a_1,a_2. a_), a_n)$.

Ниже приведена функция нахождения НОД для массива натуральных чисел $a(1..n)$ с использованием цикла.

Диофантовы уравнения, расширенный алгоритм Евклида

С помощью алгоритма Евклида можно доказать одно важное свойство НОД.

Если $GCD(a,b)=d$, то можно найти такие целые числа $x$ и $y$, что $ax+by=d$.

Важным частным случаем этого утверждения является:

Если числа $a$ и $b$ взаимно просты ($GCD(a,b) = 1$), то найдутся такие целые числа $x$ и $y$, что $ax + by = 1$.

Решение в целых числах уравнения $ax + by = c$ для любого целого $c$ получается из решения предыдущего уравнения умножением на $c$.

Уравнение вида $ax+by=c$, разрешимое в целых числах, называется диофантовым уравнением (по имени древнегреческого математика Диофанта).

Существует несколько типов задач, которые сводятся к решению диофантовых уравнений. К таким, например, относятся:

• задачи по размену суммы денег купюрами определенного достоинства;
• задачи на переливание.

Критерий разрешимости диофантова уравнения:

Чтобы уравнение $ax+by=c$ имело решение в целых числах $(x,y)$, необходимо и достаточно, чтобы $c$ делилось на $d=GCD(a,b)$.

Если это условие выполнено и $(x_0,y_0)$ – одно из решений этого уравнения, то все целочисленные решения выглядят так:

$y = y_0 — $, где $t$ — целое число;

Способ решения уравнения $ax + by = d$ основан на алгоритме Евклида: определяя $GCD(a,b)$ методом последовательного деления, на каждом шаге выражаем остаток от деления через исходные числа $a$, $b$ до тех пор, пока остаток не станет нулем. Следовательно, на предыдущем шаге остаток равен $GCD(a,b)$, и мы одновременно получаем одно из решений уравнения.

$r_$ делится на $r_n$ без остатка

Следовательно, $r_n=GCD(a,b)$, а $(x_n,y_n)$ – искомое решение уравнения $ax + by = d$;

Рекуррентные формулы определения решения, как видно из выкладок, имеют следующий вид: (для запоминания: начальная “1” — для первого параметра в функции НОД)

Замечание. Достаточно рассмотреть одно рекуррентное соотношение, например, для вычисления $x$, так как можно использовать исходное уравнение для определения $y=(d–ax)/b$.

Пример 1.3: Найти целочисленное решение уравнения $258x + 114y = 6$

258 = 114 · 2 + 30; $q_1 = 2$;

114 = 30 · 3 + 24; $q_2 = 3$;

30 = 24 · 1 + 6; $q_3 = 1$;

24 = 6 · 4; НОД(258,114) = 6

x₃ = 4; y₃ = -9 (таблица вычислений на рис.1.1);

Алгоритм для решения в целых числах уравнения $ax+by=c$.

1. Найдем по алгоритму Евклида с делениями $d=GCD(a,b)$. Одновременно определяем решение уравнения $ax_0+by_0=d$ по вышеизложенным рекуррентным формулам.

2. Проверим, делится ли число $c$ на $GCD(a,b)$. Если нет, то решений в целых числах не существует.

3. Если делится, то делим на $d$ коэффициенты в правой и левой части уравнения $ax+by=c$. Получим эквивалентное уравнение $+=$,
где $a_1=a/d$, $b_1=b/d$, $c_1=c/d$.

4. Найденная пара чисел $(x_0,y_0)$ – частное решение уравнения $x+y=1$, общее решение этого уравнения находится по формулам: $x = x_0+t$ и $у = y_0-t$, где $x_h=t$, $y_h=-t$ ($t$ – любое целое число) являются общим решением однородного уравнения $x+y=0$.

5. Частное решение исходного уравнения $ax+by=c$ получается умножением пары $(x_0,y_0)$ на $c_1$. Общее решение уравнения $ax+by=c$ получается сложением частного решения и общего решения однородного уравнения $ax+by=0$ (или эквивалентного $x+y=0$).

Достоинство данного алгоритма в том, что решение уравнения определяется одновременно с нахождением $GCD(a,b)$ без дополнительных массивов. Алгоритм справедлив также при $a \lt b$.

Целочисленное решение уравнения $ax_0+by_0=GCD(a,b)$

Решение общего линейного диофантова уравнения.

Диофантово уравнение общего вида: $ + + . + = c$, где $a_1, a_2, …, a_n, c$ — целые числа, а $GCD(a_1. a_n)$ — наибольший общий делитель чисел $a_i$, где $1 \le i \le n$ и не все числа $a_i$ равны нулю.

С помощью алгоритма Евклида можно доказать, что диофантово уравнение $++. + = GCD(a_1,a_2. a_n)$ всегда разрешимо, следовательно, критерий разрешимости: для существования решения в целых числах этого уравнения необходимо и достаточно, чтобы число $с$ делилось на $GCD(a_1,a_2. a_n)$.

Рассмотрим алгоритм решения на частном примере.

Пример: найти решение уравнения $18x+42y+10z=14$ в целых числах.

Решение:

Для принятых выше обозначений $a_1=18$, $a_2=42$, $a_3=10$, $c=14$.

Легко угадывается решение: $(x = 0; y = 2; z = -7)$.

Если любому целому числу, представимому левой частью уравнения, сопоставить конкретный набор $(x,y,z)$, то действия с такими числами (сложение, вычитание, умножение на любое целое число) эквивалентны аналогичным действиям с соответствующими наборами (поэлементно). В частности, для коэффициентов уравнения числу 18 можно сопоставить набор $(1,0,0)$, т.к. 18 · 1 + 42 · 0 +10 · 0 = 18, для числа 42 — набор (0,1,0), а для числа 10 — набор (0,0,1).

Найдем число $d=GCD(18,42,10)$ и целочисленное решение уравнения $18x+42y+10z=d$

$GCD(a_1,a_2,a_3)=GCD(GCD(a_1,a_2),a_3))$ для последовательного определения НОД чисел;

$GCD(a,b)=GCD(b,r)$, где $r$ — остаток целочисленного деления $a$ на $b$, причем $0 ≤ r (-2 ,1,0) 18 (1,0,0) ↑ ↑ 6 = 42 – 18 · 2

6 (-2,1,0) 0 (7,-3,0) ↑ ↑ 0 = 18 – 6 · 3 4 (2,-1,1) ↑ ↑ 6 (-2,1,0) 4 = 10 – 6 · 1 2 (-4,2,-1) ↑ ↑ 4 (2,-1,1) 2 = 6 – 4 · 1 2 (-4,2,- 1) ↑ ↑ 0 (10,- 5,3) 0 = 4 – 2 · 2 2 (-4,2,-1) 0 (7,- 3,0) 0 (10,-5,3) итоговая строка результатов

Последняя строка таблицы определяет результаты решения диофантова уравнения.

Ненулевое значение в первом столбце определяет $GCD(18,42,10)=2$. Соответствующий набор $(x = -4, y = 2, z = -1)$ определяет частное решение уравнения $18x + 42y + 10z=GCD(18, 42,10)$. Правая часть исходного уравнения делится на GCD коэффициентов, следовательно, частное решение исходного уравнения существует и определяется умножением на целочисленный коэффициент $c/d=7$, т.е. набор $(x=-28, y=14, z=-7)$ является частным решение исходного уравнения. Наборы при нулевых результирующих коэффициентах определяют независимые решения однородного уравнения $18x+42y+10z=0$. Независимость наборов означает, что нельзя получить соответствующие компоненты одного набора из другого умножением на какое-либо целое число (это следует из сравнения третьих компонент в наборах). Очевидно, что решение однородного уравнения можно умножать на любую целочисленную константу, получая вновь решение. Следовательно, общее решение уравнения можно записать следующим образом.

$\begin x = -28 + 7 t_1 + 10 t_2 \\ y = 14 — 3 t_1 — 5 t_2 \\ z = -7 + 0 t_1 + 3 t_2 \end$
где $t_1$, $t_2$ — любые целые числа

Легко проверить, что для любых целых $t_1$ и $t_2$ тройки $(x,y,z)$ являются решениями уравнения $18x+42y+10z=14$.

Например, для $t_1=4$ и $t_2=0$ имеем $(x=0; y=2; z=-7)$, $18 \cdot 0 + 42 \cdot 2 — 10 \cdot 7=14$.

Алгоритм решения диофантова уравнения

Ниже приводится алгоритм решения уравнения $++. +=GCD(a_1,a_2. a_n)$

Функция GCD(n, a(), x())

Задать набор N а_1

Цикл i от 2 до n

Задать набор N а$_i $

Пока a(i ) ≠ 0

t = a(i); Nt =_ Na$_i $_

a(i) = a(1) — q*a(i); Na$_i $_ = Na_1 — q*Na$_i $

a (1) = t Na _1 = Nt

Конец пока

Конец цикла i

конец функции

Реализация на Pascal:

Задача: Разменять 14 рублей “трешками” и “пятерками”.

Задачи переливания

Задача. В ведре 12 литров молока. Как разлить молоко на две равные части, используя только бидоны 5 и 7 литров?

Покажем, как эта задача сводится к решению в целых числах уравнения $7x+5y=6$.

Следующий алгоритм переливания (рисунок 4) всегда приводит к решению подобных задач:

1) В первый сосуд, если он пуст, наливаем (+1 для x)

2) Из первого сосуда доливаем второй (если возможно)

3) Из второго сосуда, если он полон, выливаем (-1для y)

Последующий пункт алгоритма выполняется, если невозможно выполнить предыдущий пункт. Каждое действие по отдельному пункту алгоритма составляет шаг переливания с дальнейшим циклическим возвратом к анализу п.1.

Согласно диофантовому уравнению, процесс заканчиваем, когда суммарный объем жидкости в обоих сосудах станет равным искомому объему.

Как видно из рисунка 4, достижение нужного объема может произойти раньше (в некоторых случаях, даже значительно раньше).

Подсчитывая количество «наливаний» ($x$ со знаком «+») для одного сосуда и «выливаний» ($y$ со знаком «-«) для другого, находим решение соответствующего диофантова уравнения.

7 * 3 + 5 *(-3) = 6; $x$ = 3, $y$ = -3

Решений у такого уравнения бесконечно много. Если выберем сосуд 5 л в качестве первого – получим решение:

Количество шагов переливаний может зависеть от того, какой вместительности сосуд считать за “первым” (например, если в задаче заменить 5-литровый сосуд 3-литровым).

Для закрепления алгоритма при решении тренировочных задач 1.3 и 1.4 воспользуйтесь программой «Переливай-ка».

Задача 1.3: Разлить поровну 16 ведер кваса, находящегося в 16-ведерном бочонке, имея два пустых бочонка по 11 и 6 ведер.

Задача 1.4: Имеются три бочонка вместимостью 6, 3 и 7 ведер. В первом и третьем содержится 4 и 6 ведер кваса соответственно. Требуется разделить квас поровну между первым и третьим бочонком (по 5 вёдер).

Простые числа

Натуральное число называется простым, если оно не имеет делителей кроме единицы и самого себя.

Основная теорема арифметики. Любое целое положительное число разлагается на простые множители и притом единственным образом (докажите самостоятельно).

Задача 1.5. Определить простые делители натурального числа $n$.

Решето Эратосфена для нахождения простых чисел

Задача. Найти и вывести на экран простые числа, не превосходящие заданного числа N.

Древнегреческий математик Эратосфен (250 – 194 годы до н.э.) записывал все подряд числа на папирусе, а затем выкалывал составные числа по следующему правилу: сначала числа, делящиеся на 2, затем на 3, на 5 и т.д., то есть просеивал их как сквозь решето. В результате чего на папирусе оставались лишь простые числа. Этот алгоритм нахождения простых чисел носит название решета Эратосфена.

Ввести $N$
Массив $$, $i=1. N$ (элементы массива нулевые)
Цикл $i = 2 .. n$
Если $a_i = 0$ то
Шаг=i

Для j = j + h до n с шагом h

Для от i = 2 до n

Если a(i) = 0 то вывести i;

Основная идея этой реализации алгоритма заключается в том, что индексы элементов массива представляют собой числа, а элементы массива – признаки того, являются ли эти числа простыми (значение 0) или составными (значение 1).

Цепные дроби

Цепная дробь (или непрерывная дробь) — это математическое выражение вида:

где a0 где a0 есть целое число и все остальные an натуральные числа (то есть неотрицательные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.

Источник