Как вывести общий знаменатель за скобки

Вынесение общего множителя за скобки

Разложить многочлен на множители можно несколькими способами. Один из них называется вынесение общего множителя за скобки.

Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения двух и более многочленов.

Как вынести общий множитель за скобки

Чтобы вынести общий множитель за скобки нужно выполнить следующие действия.

1. Работаем с числовыми коэффициентами.
   Находим число, на которое делятся без остатка числовые коэффициенты каждого одночлена.
2. Работаем с буквенными множителями.
   Находим буквенные множители, которые повторяются в каждом одночлене. Выносим их за скобку в наименьшей степени.
3. Вычисляем многочлен, который остается в скобках.

Рассмотрим пример вынесения общего множителя за скобки.

Сначала определим число, на которое без остатка делятся все числовые коэффициенты одночленов. Для этого выпишем все числовые коэффициенты в таблицу ниже.

Одночлен	Числовой коэффициент	Вывод
6a 2	6	Все числовые коэффициенты делятся без остатка на число « 3 ».
−3a	−3
12ab	12

Определим буквенные множители, которые повторяются во всех одночленах.

В многочлене « 6a 2 − 3a + 12ab » — только буквенный множитель « a » присутствует во всех одночленах. Наименьшая степень буквенного множителя « a » среди всех одночленов — первая.

Теперь перемножим выбранный числовой коэффициент и буквенный множитель.
Получим « 3a » и вынесем его за скобки.

Теперь вычислим оставшийся многочлен в скобках. Для этого составим таблицу ниже, где будем к каждому одночлену задавать вопрос:
«На что нужно умножить « 3а », чтобы получить данный одночлен?»

Вопрос	Полученный одночлен
На что нужно умножить « 3а », чтобы получить « 6а 2 »?	На « 2а ».
На что нужно умножить « 3а », чтобы получить « −3a »?	На « −1 ».
На что нужно умножить « 3а », чтобы получить « 12ab »?	На « 4b ».

Запишем полученный ответ.

Всегда проверяйте полученный результат вынесения общего множителя.

Для этого раскройте скобки в полученном результате по правилу умножения многочлена на одночлен.

Если вы вынесли общий множитель правильно, то вы должны получить исходный многочлен.

Проверим, правильно ли мы вынесли общий множитель за скобки.

При раскрытии скобок мы получили исходный многочлен, значит мы правильно вынесли общий множитель за скобки.

Действие обратное вынесению общего множителя за скобки называется раскрытием скобок.

Примеры вынесения общего множителя за скобки

• a 4 + 2a 2 = a 2 (a 2 + 2)
  Проверка: a 2 (a 2 + 2) = a 2 · a 2 + 2a 2 = a 2 + 2 + 2a 2 = a 4 + 2a 2

2x 2 y 2 − 2x 4 y 2 + 6x 3 y 3 = 2x 2 y 2 (1 − x 2 + 3xy)
Проверка: 2x 2 y 2 (1 − x 2 + 3xy) = 2x 2 y 2 · 1 − 2x 2 y 2 · x 2 + 2x 2 y 2 · 3xy =
= 2x 2 y 2 − 2x 2 + 2 y 2 + 6x 2 + 1 y 2 + 1 = 2x 2 y 2 − 2x 4 y 2 + 6x 3 y 3

Вынесение общего многочлена за скобки

Иногда есть возможность вынести многочлен за скобки целиком.

В таком случае оставшиеся одночлены просто записываются в скобки друг за другом вместе со знаком, который стоял слева от них.

a 2 (x + y) + b 3 (x + y) = (x + y)(a 2 + b 3 ) — выносим многочлен (x + y) за скобки.

a 3 (x 2 + y 2 ) − b(x 2 + y 2 ) = (a 3 − b)(x 2 + y 2 ) — выносим многочлен (x 2 + y 2 ) за скобки.

Источник

Вынесение общего множителя за скобку

Вынесение общего множителя – один из основных способов разложения на множители. По сути является действием обратным раскрытию скобок.

Например, выражение \(5x+xy\) можно представить как \(x(5+y)\). Это и в самом деле одинаковые выражения, мы можем в этом убедиться если раскроем скобки: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Как видите, в результате мы получаем исходное выражение. Значит, \(5x+xy\) действительно равно \(x(5+y)\). Кстати, это надежный способ проверки правильности вынесения общих множителей – раскрыть полученную скобку и сравнить результат с исходным выражением.

Главное правило вынесения за скобку:

Выносить за скобку можно только те множители, которые есть во всех слагаемых (одночленах).

К примеру, в выражении \(3ab+5bc-abc\) за скобку можно вынести только \(b\), потому что лишь оно есть во всех трех слагаемых. Процесс вынесения общих множителей за скобку представлен на схеме ниже:

Правила вынесения за скобки

В математике принято выносить сразу все общие множители.

Пример: \(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Обратите внимание, здесь мы могли бы разложить и вот так: \(3(xy-xz)\) или так: \(x(3y-3z)\). Однако это были бы неполные разложения. Выносить надо и тройку, и икс.

Иногда общие члены сразу не видны.

Пример: \(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
В этом случае общий член (пятерка) была скрыта. Однако разложив \(10\) как \(2\) умножить на \(5\), а \(15\) как \(3\) умножить на \(5\) – мы «вытащили пятерку на свет Божий», после чего легко смогли вынести ее за скобку.

Если одночлен выносится полностью – от него остается единица.

Пример: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Мы за скобку выносим \(x\), а третий одночлен и состоит только из икса. Почему же от него остается единица? Потому что если любое выражение умножить на единицу – оно не изменится. То есть этот самый \(x\) можно представить как \(1\cdot x\). Тогда имеем следующую цепочку преобразований:

Более того – это единственно правильный способ вынесения, потому что если мы единицу не оставим, то при раскрытии скобок мы не вернемся к исходному выражению. Действительно, если сделать вынесение вот так \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), то при раскрытии мы получим \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Третий член – пропал. Значит, такое вынесение некорректно.

За скобку можно выносить знак «минус», при этом знаки членов с скобке меняются на противоположные.

Пример: \(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
По сути здесь мы выносим за скобку «минус единицу», которая может быть «выделена» перед любым одночленом, даже если минуса перед ним не было. Мы здесь используем тот факт, что единицу можно записать как \((-1) \cdot (-1)\). Вот тот же пример, расписанный подробно:

Скобка тоже может быть общим множителем.

Пример: \(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
С такой ситуацией (вынесением за скобку скобки) чаще всего мы сталкиваемся при разложении на множители методом группировки или решении уравнений методом расщепления.

Степень также может выноситься за скобку как общий множитель.

Пример: \(x^5-x^3+x^2=x^2 (x^3-x+1)\)
Действительно, ведь \(x^5\) — это тоже самое, что \(x·x·x·x·x\),
\(x^3\) — это тоже самое, что \(x·x·x\),
\(x^2\) — это тоже самое, что \(x·x\).

Таким образом, получаем:

Теперь у нас в каждом члене есть общие множители \(x·x\) — их и выносим:

Источник

Вынесение общего множителя за скобки

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие вынесения множителя за скобки

Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, которое равно данному многочлену.

Есть несколько способов разложения многочлена на множители. Один из них — вынесение общего множителя за скобки.

Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, которые представляют из себя суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один одинаковый для всех множитель. Он так и называется — общий множитель.

Вынесение общего множителя за скобки — это преобразование многочлена в произведение с помощью распределительного свойства умножения. Только в случае вынесения множителя за скобки это свойство применяется справа налево.

Формула вынесения общего множителя за скобки:

Покажем метод вынесения общего множителя за скобки на примере с цифрами:

Определение общего множителя для всех членов многочлена производится пошагово:

1. Если у каждого члена есть коэффициент — находим число, на которое делится коэффициент каждого члена, и выносим его за скобки.
2. Находим переменные, которые встречаются в каждом члене. Переменные выносятся за скобки в наименьшей встречающейся степени.
3. Определяем многочлен, который должен остаться в скобках. При этом многочлен должен иметь столько же членов, сколько было в исходном многочлене.

Если нам дано произведение 6 * 2 и 6 * 5, то мы можем вынести за скобки общий множитель 5. В чем состоит данное преобразование? Мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, которое содержит сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.

Итак, вынесем общий множитель 5 в 6 * 2 и 6 * 5 и получим 6 * (2 + 5).

Итоговое выражение — это произведение общего множителя 6 на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без 6.

Так и получается: 6 * 2 + 6 * 5 = 6 * (2 + 5).

Правило вынесения общего множителя за скобки

Основное правило вынесения общего множителя за скобки

Чтобы вынести за скобки общий множитель, нужно записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.

Алгоритм вынесения общего множителя за скобки:

1. Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, которые входят в многочлен. Он и будет общим числовым множителем.
2. Найти общую буквенную часть для всех членов многочлена. При этом выбрать наименьший показатель степени.
3. Произведение коэффициента и общей буквенной части, которые мы нашли на первом и втором шагах, является общим множителем, который выносим за скобки.
4. Делим каждый член многочлена на вынесенный множитель и полученный результат записываем в скобках.

Важно! В скобках должно быть столько одночленов, сколько их было в многочлене.

Рассмотрим простой пример вынесения. Дано числовое выражение 4 * 7 + 4 * 3 — 4 * 5, которое является суммой трех слагаемых и общего множителя 4. Возьмем за основу выведенное правило и запишем произведение иначе: 4 * (7 + 3 — 5).

Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так:

4 * 7 + 4 * 3 — 4 * 5 = 4 * (7 + 3 — 5).

Определить сразу, какой множитель является общим, получается не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.

Рассмотрим разложение многочлена на множители методом вынесения за скобки общего множителя на примере многочлена: 12m — 6m — 3m. Ход решения:

Вынесение минуса за скобки

Еще один случай, на котором следует обратить внимание — это вынесение за скобки минуса. Только мы выносим не сам знак, а минус единицу. Часто это помогает упростить выражение и сделать его проще.

Пример 1. Вынести минус за скобки в выражении: -10 + (-1) + (-3)

Чтобы вынести минус за скобки, нужно записать перед скобками минус и в скобках записать все слагаемые с противоположными знаками:

Найдем решение для каждого выражения:

-(10 + 1 + 3) = -(14) = -14

Поэтому между выражениями можно поставить знак равенства, потому что они равны одному и тому же значению:

-10 + (-1) + (-3) = -(10 + 1 + 3)

Пример 2. Вынести минус за скобки в выражении: -3 + 5 + 11

Ставим минус и рядом в скобках записываем выражение с противоположным знаком у каждого слагаемого:

-3 + 5 + 11 = -(3 — 5 — 11)

Как и в прошлом примере, здесь за скобки вынесен не минус, а минус единица.

Подробное решение выглядит так:

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Записаться на марафон

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Источник

Вынесение общего множителя за скобки

Преобразование математического выражения, в результате которого многочлен представлен произведением нескольких множителей и тождественен (т.е. равен) исходному, называют разложением многочлена на множители.

Чтобы вынести общий множитель за скобки, сначала нужно его найти.

Не забываем полезные лайфхаки для нахождения общего множителя:

Все четные числа делятся на два;

Число делится на три, если сумма составляющих его цифр делится на три

(например, нужно узнать, делится ли на 3 число 78;

7+8=15:3=5, соответственно, 78 делится на 3)

На 5 делятся числа, которые оканчиваются на 0 и 5

Часто в алгебраические выражения и тождества входят буквенные переменные. Например а, в, с, х, у и другие. И многоэтажные примеры в учебники алгебры из нагромождения букв и чисел приводят неподготовленного ученика в священный трепет.

Не стоит пугаться. Буквенная переменная это полноправный множитель, и с ним можно производить все действия, которые применимы к обычным числам: сокращать, выносить за скобки, складывать, возводить в степень и т.д.

Работа с многочленом ведется в определенном порядке.

1.Сначала преобразуем числовые коэффициенты. Определяем, на какое наибольшее целое число (наибольший общий делитель) делятся числовые коэффициенты каждого входящего в уравнение одночлена без остатка.

Определили, что все числовые коэффициенты делятся на 4.

2. Затем находим общие буквенные коэффициенты для всех одночленов многочлена и выносим их за скобки в наименьшей степени.

В нашем примере 8а2+12аb-4a, общим буквенным коэффициентом является а в наименьшей степени 1. Выносим за скобки общий буквенный и определенный на предыдущем этапе общий числовой коэффициенты

NB! Чтобы проверить правильность проведенных преобразований, нужно умножить вынесенный за скобки одночлен на многочлен в скобках. В результате должно получиться исходное выражение.

А сейчас, чтобы закрепить тему «Вынесение за скобки общего множителя», решим пример из учебника «Алгебра» для 7 класса под редакцией Мерзляка А. Г.

Источник