Как вывести рабочую формулу для определения момента инерции

Вывод рабочей формулы для экспериментального

определения момента инерции.

При экспериментальном определении момента инерции используется маятник Обербека, который представляет собой крестовину с четырьмя закрепленными на ней на одинаковых расстояниях от оси одинаковыми грузами. На ось крестовины насажен двухступенчатый шкив, на который намотана нить с подвешенным к ней грузом. При движении груза вниз шкив начинает вращаться. Для вывода рабочей формулы рассмотрим упрощенную схему установки, выделив систему связанных движущихся тел: поступательно движущийся груз и вращающийся шкив (рис. 4.1). Поступательное движение груза описывается уравнением:

Вращательный момент шкива создает сила натяжения нити Т₁, которая по третьему закону Ньютона равна силе Т. Этот момент М = ТR. Тогда уравнение вращательного движения шкива:

Если отсутствует проскальзывание нити, то тангенциальное ускорение элементов нити, вращающихся вместе со шкивом, равно линейному ускорению груза:

Решая систему уравнений (4.1), (4.2) и (4.3), получим для момента инерции выражение: .

Линейное ускорение груза можно вычислить по измеренным высоте падения груза и времени его падения: h=at 2 /2.

Таким образом, получена рабочая формула для экспериментального определения момента инерции:

(4.4)

Вывод формулы для теоретического вычисления

Момента инерции.

Момент инерции является аддитивной величиной, то есть момент инерции системы тел равен сумме моментов инерции всех тел, входящих в систему. Маятник Обербека состоит из шкива (включая ось и втулку крестовины), четырех стержней крестовины и грузов, укрепленных на крестовине. Момент инерции шкива указан на установке. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен m₂l_c 2 /3, где m₂ − масса стержня без груза, l_c − длина стержня крестовины − указаны на установке. Грузы, укрепленные на крестовине, приближенно можно считать за точечные массы. Тогда момент инерции каждого груза равен m₁l 2 , где m₁ − масса одного груза (указана на установке), l − расстояние от оси вращения до центра масс груза (измеряется при выполнении работы).

Теоретический момент инерции после суммирования вычисляется по формуле:

Описание экспериментальной установки

Внешний вид установки представлен на рис.4.2. Регулировочные винты 1 обеспечивают горизонтальную установку основания 2, к которому крепится вертикальная колонка 3, на которой нанесена миллиметровая шкала. К этой колонке прикреплены неподвижный кронштейн 4 и верхний подвижный 5, с помощью которого можно регулировать длину пути груза h. Через диск 6 перекинута нить 7, один конец которой прикреплен к шкиву 8, а на втором конце закреплены грузы 9. Кронштейн 11 снабжен резиновым амортизатором для ограничения движения грузов. Включение прибора производится нажатием клавиши «сеть» 12, обнуление миллисекундомера производится клавишей «сброс» 13, клавиша «пуск» 14 включает миллисекундомер. Время падения груза высвечивается на индикаторе 15.

Порядок выполнения работы

1. Включить установку в сеть.

2. Убедиться, что к нити прикреплен только один груз.

3. Намотать нить на шкив 8, а второй конец с грузом перекинуть через диск 6. Груз поднять на высоту h. Нижний край груза должен совпадать с чертой на корпусе верхнего фотодатчика.

4. Нажать кнопку «пуск» и отпустить груз без толчка. При этом запускается миллисекундомер. Записать отсчет в таблицу 4.1.

5. Нажать кнопку «сброс» и проверить, произошло ли обнуление измерителя.

6. Повторить измерение пять раз, занося значения времени падения в таблицу 4.1.

7. Последовательно увеличивая массу падающего груза, повторить п.п. 3-6.

№ измерения	Груз 1 m (г) =	Грузы 1,2 m (г) =	Грузы 1,2, 3 m (г) =	Грузы 1,2,3,4 m (г) =
t1
t2
t3
t4
t5
tср
I

8. Измерить высоту падения груза и длину стержня крестовины. Занести измеренные значения в таблицу 4.2. В эту же таблицу занести значения величин, указанные на установке.

R

m1

m2

I0

lc

l

h

9. Вычислить среднее значение времени падения для каждой массы груза и занести в таблицу 4.1.

10. По формуле (4.4) рассчитать значение момента инерции при каждой массе падающего груза, используя среднее время падения, и занести в таблицу 4.1. Ускорение свободного падения для Санкт-Петербурга g = (9,82 ± 0,01) м/с 2 .

11. Рассчитать среднее значение момента инерции и оценить абсолютную и относительную погрешность его определения.

12. По формуле (4.5) вычислить теоретическое значение момента инерции маятника. Сравнить с экспериментально полученным.

13. По формуле вычислить угловое ускорение для каждого груза. Вычисленные значения занести в таблицу 4.3.

14. По формуле вычислить значение вращающего момента для каждой массы груза. Вычисленные значения занести в таблицу 4.3.

№ груза

m, кг

ε , рад/с

М, Н·с

15. По данным таблицы 4.3 построить график зависимости углового ускорения от вращающего момента: ε = ε(М).

16. Сделать вывод, подтверждает ли характер зависимости углового ускорения от вращающего момента основной закон динамики вращательного движения. Определить возможные причины отклонения от теоретической зависимости.

17. Определить по графику среднее значение момента инерции маятника как котангенс угла наклона прямой к оси абсцисс.

18. Записать окончательные результаты работы: экспериментально полученное значение момента инерции с погрешностью, теоретическое значение момента инерции и величину момента инерции, вычисленную по графику зависимости ε = ε(М).

Контрольные вопросы

1. Дать определение момента силы относительно точки и относительно оси.

2. Дать определение момента импульса материальной точки относительно точки и относительно оси.

3. Чему равен момент импульса твердого тела относительно оси?

4. Каков физический смысл момента инерции? Как вычислить момент инерции твердого тела?

5. Провести аналогию между характеристиками поступательного и вращательного движения.

6. Указать на чертеже направление момента силы натяжения нити, действующей на шкив в данной работе.

Литература: [1, § 27, 31, 32]; [2, § 30, 33, 36]; [4, §4.1-4.3]; [5].

Источник

Момент инерции для чайников: определение, формулы, примеры решения задач

• 12 января 2021 г.
• 7 минут
• 330 096

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

Источник

Вывод рабочей формулы для расчета момента инерции тел враще­ния методом крутильных колебаний.

Определение моментов инерции тел вращения методом крутильных колебаний.

Проверка теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Основные понятия вращательного движения твердого тела.

Кроме понятия материальной точки, в механике используется модель­ное понятие абсолютно твердого тела – тела, деформациями которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Такое тело можно рассматривать как систему жестко закрепленных материальных точек.

Любое сложное движение твердого тела всегда можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное. Поступательнымназыва­ется такое движение твердого тела, при кото­ром любая прямая, проведенная через любые две точки тела, остается парал­лельной самой себе во все время движения (рис.1). При таком движении все точки твердого тела движутся совершенно одинаково, то есть имеют одну и ту же скорость, ускорение, траектории движения, совершают одинаковые пе­ремещения и проходят одинаковый путь. Следовательно, поступательное движение твердого тела можно рассматривать как движение материальной точки, масса которой равна массе тела m и применять к нему второй закон Ньютона динамики материальной точки, т.е.

, (1)

где — результирующая всех внешних сил, действующих на тело, — им­пульс (количество движения) тела.

Вращательным движением твердого тела называется движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения тела. При вращательном движении все точки тела движутся с одной и той же угловой скоростью и уг­ловым ускорением и совершают одинаковые угловые перемещения. Однако, как показывает опыт, при вращательном движении твердого тела вокруг за­крепленной оси, масса уже не является мерой его инертности, а сила – недо­статочна для характеристики внешнего воздействия. Кроме того, опыты по­казывают, что ускорение при вращательном движении зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси вращения; зависит не только от силы, но и от точки ее приложения и направления действия. По­этому, для описания вращательного движения твердого тела введены новые динамические характеристики такие, как момент силы, момент импульса и момент инерции тела.При этом следует иметь в виду, что существует два разных понятия этих величин: относительно оси и относительно любой точки О (полюса, начала), взятой на этой оси.

Моментом силы относительно неподвижной точки О называ­ется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора проведённого из точки О в точку приложения результирующей силы , на вектор этой силы:

(2)

Вектор момента силы всегда перпендикулярен плоскости, в которой распо­ложены вектора и , а его направление относительно этой плоскости определяется правилом векторного произведения или правилом буравчика. Согласно правила век-торного произведения, вектор направлен перпендику­лярно к плоскости, содержащей векторы и , в такую сторону, чтобы при рассматривании с его конца вектор мог быть совмещен с векто­ром путем вращения против часовой стрелки в сторону меньшего угла. Со­гласно правила правого буравчика (рис.2), при вращении его ручки в направ­лении от к в направлении меньшего угла a, поступательное движение буравчика определит направление вектора

При применении этих правил удобно начала векторов и совместить в одной точке. Можно, например, перенести вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом вектора в точке 0 (на рис.2 этот вектор изображен пунктиром).

Вектора, направление которых связывают с направлением вращения (угловая скорость, угловое ускорение, момент силы, момент импульса и т.п.), называют псевдовекторамиили аксиальными в отличие отобычных векто­ров (скорость, радиус-вектор, ускорение и т.п.), которые называют поляр­ными или истинными.

Величина вектора момента силы (численное значение момента силы) определяется согласно формуле векторного произведения (2), т.е. , где a — угол между направлениями векторов и . Вели­чина p= r·Sinα называется плечом силы (рис.2).Плечо силы р — это кратчай­шее расстояние от точки О до линии действия силы .

Моментом силы относительно оси, называется проекция на эту ось вектора момента силы, найденного относительно любой точки, принадлежа­щей этой оси. Ясно, что относительно оси момент силы является скалярной величиной. В системе СИ момент силы измеряется в Н·м. Для введения понятия момента импульса тела, введем сначала это по­нятие для материальной точки, принадлежащей вращающемуся твердому телу.

Моментом импульса материальной точки Δm_i относительно не­подвижной точки О называется векторное произведение радиус-вектора , проведенного из точки О в точку нахождения массы Δm_i, на вектор импульса этой материаль­ной точки:

, ( 3)

где — импульс материальной точки.

Моментом импульса твердого тела (или механической системы) относительно неподвижной точки О называется вектор , равный геомет­рической сумме моментов импульса относительно этой же точки О всех материальных точек данного тела, т.е. .

Моментом импульса твердого тела относительно осиназывается проекция на эту ось вектора момента импульса тела относительно любой точки, выбранной на данной оси. Совершенно очевидно, в этом случае мо­мент импульса является скалярной величиной. В системе СИ момент им­пульса измеряется в .

Мерой инертности тел при поступательном движении является их масса. Инертность же тел при вращательном движении зависит не только от массы тела, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вра­щения. Мерой инертности тела при вращательном движении является момент инерции тела I относительно оси вращения или точки. Момент инер­ции, как и масса, величина аддитивная, скалярная.

Моментом инерции тела относительно оси вращения называется физическая скалярная величина, равная сумме произведений масс матери­альных точек (на которые можно разбить все тело) на квадратырасстояний каждой из них до оси вращения:

,(4)

где I -момент инерции материальной точки.

Моментом инерции тела относительно точки Оназывается скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой материальной точки данного тела на квадрат ее расстояния до точки О. Рас­четная формула момента инерции аналогична формуле (4). В системе СИ момент инерции измеряется в кг·м 2 .

Момент инерции твердого тела зависит от массы тела, формы и раз­мера тела.

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела.

Каждая из материальных точек вращающегося твердого тела будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а центры всех этих окружностей будут лежать на этой оси. При этом все точки тела в данный момент времени имеют одинако­вую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение.

Рассмотрим i-материальную точку, масса которой Δm_i, а радиус окружности, по которой она движется, r_i. На нее действуют как внешние силы со стороны других тел, так и внутренние силы — со стороны других материальных точек, принадлежащих этому же телу. Разложим результирующую силу , действующую на матери­альную точку массы Δm_i, на две взаимно перпендикулярные состав­ляющие силы и , причем так, чтобы вектор силы совпадал по направ­лению с касательной к траектории движения частицы, а сила — пер­пендикулярна к этой касательной (Рис.3). Совершенно очевидно, что враще­ние данной материальной точки обусловлено только касательной составля­ющей силы , величину которой можно представить в виде суммы внутрен­ней и внешней сил. В этом случае для материальной точки Δm_i второй закон Ньютона в скалярном виде будет иметь вид:

(5)

С учетом того, что при вращательном движении твердого тела вокруг оси, линейные скорости движения материальных точек по круговым траекто­риям различны по величине и направлению, а угловые скорости w для всех этих точек одинаковы (и по величине и направлению), заменим в уравнении (5) линейную скорость на угловую (v_i=wr_i):

. (6)

Введем в уравнение (6) момент силы, действующей на частицу. Для этого умножим левую и правую части уравнения (6) на радиус r_i, который по от­ношению к результирующей силе является плечом:

(7)

, (8)

где каждый член в правой части уравнения (8) есть момент соответствующей силы относительно оси вращения. Если в это уравнение ввести угловое уско­рение вращения материальной точки массы Δm_i относительно оси ( = ) и ее момент инерции ΔI_i относительно этой же оси( =ΔI_i), то уравнение вращательного движения материальной точки относительно оси примет вид:

ΔI_i· = (9)

Аналогичные уравнения можно записать для всех других материальных точек, входящих в данное твердое тело. Найдем сумму этих уравнений с учетом того, что величина углового ускорения для всех материальных то­чек данного вращающегося тела будет одинаковой, получим:

. (10)

Суммарный момент внутренних сил равен нулю, так как каждая внут­ренняя сила, согласно третьему закону Ньютона, имеет равную по вели­чине, но противоположно направленную себе силу, приложенную к другой материальной точке тела, с таким же плечом. Суммарный момент – есть вращающий момент М всех внешних сил, действующих на вращающе­еся тело. Сумма моментов инерции =I определяет момент инерции дан­ного тела относительно оси вращения. После подстановки указанных вели­чин в уравнение (10) окончательно получим:

I =M. (11)

Уравнение (11) называется основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела относительно оси. Так как = , а момент инерции тела относительно данной оси вращения является постоянной величиной и, следовательно, его можно внести под знак дифференциала, то уравнение (11) можно записать в виде:

. (12)

Величина Iw=L (13)

называется моментом импульса тела относительно оси. C учетом (13) урав­нение (12) можно записать в виде:

(14)

Уравнения (11-14) носят скалярный характер, и применяются только для описания вращательного движения тел относительно оси. При описании вращательного движения тел относительно точки (или полюса, или начала), принадлежащей данной оси, указанные уравнения соответственно записываются в векторном виде:

(11 * ); (12 * ); (13 * ); (14 * ).

При сравнении уравнений поступательного (1) и вращательного (11-14) движений тела видно, что при вращательном движении вместо силы в урав­нениях стоит ее момент, вместо массы тела – момент его инерции, вместо импульса (или количества движения) – момент импульса (или момент коли­чества движения).

Из уравнений (14) и (14 * ) следует, соответственно, уравнение моментовотносительно оси и относительно точки:

dL=Mdt (15); (15 * ) .

Согласно уравнению моментов относительно оси (15) – изменение мо­мента импульса тела dL относительно неподвижной оси равно моменту им­пульса внешней силы Mdt, действующей на тело относительно этой же оси. Относительно точки уравнение моментов (15 * ) формулируется: изменение вектора момента импульса относительно точки равно импульсу момента вектора силы, действующего на тело, относительно этой же точки.

Из уравнений (15) и (15 * ) вытекает закон сохранения момента им­пульса твердого тела как относительно оси, так и относительно точки. Из уравнения (15) следует: если суммарный момент всех внешних сил М отно­сительно оси равен нулю (M=0, следовательно и dL=0), то момент импульса этого тела относительно оси его вращения остается постоянной величиной (L=Const).

Относительно точки: если суммарный вектор момента всех внешних сил относительно точки вращения О остается неизменным, то вектор мо­мента импульса этого тела относительно этой же точки О остается постоян­ным.

В данной лабораторной работе определяются моменты инерции для про­стейших тел вращения. Под телом вращения понимается объемное тело, возникающее при вращении плоской фигуры, ограниченной произвольной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости. Тело вращения всегда имеет ось симметрии. Простейшими примерами тел вращения являются:

шар – образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза;

цилиндр – образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из его сторон;

конус – образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг од­ного из его катетов и т.п.

В рассматриваемой лабораторной работе методом крутильных колеба­ний определяются моменты инерции для тел: сферы, диска, стержня, полого и сплошного цилиндров. Кроме того, экспериментально проверя­ется теорема Гюйгенса-Штейнера. Эта теорема позволяет определить момент инерции тела относительно любой оси, не проходящей через центр массы тела, если известен момент инерции данного тела относительно оси прохо­дящей через центр масс и параллельной относительно искомой оси.

Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент инерции тела относительно лю­бой оси, не проходящей через центр массы данного тела, равен моменту инерции этого тела относительно оси, проходящей через его центр массы и параллельной первой оси, плюс произведение массы данного тела на квадрат расстояния между этими осями: I = I_o + mɑ 2 , где I – момент инерции тела от­носительно искомой оси, (не проходящей через центр массы тела), Iо мо­мент инерции тела относительно оси проходящей через центр массы и параллельной первой оси, m- масса тела, ɑ — расстояние между осями.

Вывод рабочей формулы для расчета момента инерции тел враще­ния методом крутильных колебаний.

Крутильный маятник в данной работе состоит из спиральной пружины, закрепленной в штативе. С пружиной жестко скреплена ось, свободно вра­щающаяся в штативе. На ось крепится тело, момент инерции которого опре­деляется. Если эту систему вывести из положения равновесия, повернув тело на некоторый угол φ и отпустить, то возникнут крутильные колебания тела. При крутильных колебаниях на тело действует возвращающий момент силы, приостанавливающий отклонение тела от состояния равновесия, а затем со­общающий телу обратное движение. Возвращающий момент силыМобусловлен упругими силами, возникающими в спиральной пружине.

Как показывают эксперименты, в области упругих деформаций круче­ния, угол поворота спиральной пружины прямо пропорционален проекции момента силы Мна ось вращения z (М_z), т.е.

Коэффициент пропорциональности G называется угловым коэффициентом упругости спиральной пружины. Из уравнения (11) следует: М_z = I_z· , где = — угловое ускорение, I_z – момент инерции тела относительно вращающейся оси установки. Следовательно,

М_z = I_z· (17).

Из (16 ) и (17) следует равенство: I_z· = — G·φ. Или

+ = 0 (18)

Уравнение (17) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний, которое можно переписать в следующем виде

+ω 2 φ = 0, (19)

где ω 2 = (20)

Уравнение (18) соответствует гармоническому осциллятору и описывает его гармонические колебания, в данном случае колебания углового смещения маятника относительно его положения равновесия. Из решения дифференциального уравнения (18) следует, что колебания крутильного маятника яв­ляются гармоническими φ = φ_о·Sin(ω·t +α), где φ_о – амплитуда углового сме­щения, равная начальному угловому отклонению маятника, а ω- цикличе­ская частота колебаний, которая связана с периодом колебаний соотношением

ω = (21)

Из уравнений (20) и (21) вытекает рабочая формула эксперименталь­ного определения момента инерции I_z для предложенных тел вращения и проверки теоремы Гюйгенса – Штейнера:

I_z =I= , (22)

Подготовка и выполнение лабораторной работы.

Рис.4 Общий вид экспериментальной установки и исследуемых тел.

Как видно из рабочей формулы (22) основными параметрами при экспе­риментальном определении моментов инерции указанных выше тел, яв­ляется период колебаний тела Т и угловой коэффициент упругости спиральной пружины G. В данной лабораторной работе угловой коэффициент экспериментально уже определен по методике, описанной на стр.12 и имеет значение

Дата добавления: 2016-03-15 ; просмотров: 5244 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Читайте также:  Как научить годовалого ребенка чистить зубы щеткой