Как вывести тангенс через косинус

Основные тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

Основные тригонометрические тождества

\[ \sin^<2>\alpha + \cos^ <2>\alpha = 1 \]

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 \]

Четность, нечетность тригонометрических функций

\[ \sin \left ( — \alpha \right ) = — \sin \left ( \alpha \right ) \]

\[ \cos \left ( — \alpha \right ) = \cos \left ( \alpha \right ) \]

\[ tg \left ( — \alpha \right ) = — tg \left ( \alpha \right ) \]

\[ ctg \left ( — \alpha \right ) = ctg \left ( \alpha \right ) \]

Зависимость между синусом и косинусом

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой \( \dfrac=\dfrac<\sin \alpha> <\cos \alpha>\) , а отношение \( \dfrac=\dfrac<\cos \alpha> <\sin \alpha>\) — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов \( \alpha \) , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества \( tg \alpha = \dfrac<\sin \alpha> <\cos \alpha>\) , \( ctg \alpha=\dfrac<\cos \alpha> <\sin \alpha>\) .

Например: \( tg \alpha = \dfrac<\sin \alpha> <\cos \alpha>\) является справедливой для углов \( \alpha \) , которые отличны от \( \dfrac<\pi><2>+\pi z \) , а \( ctg \alpha=\dfrac<\cos \alpha> <\sin \alpha>\) — для угла \( \alpha \) , отличного от \( \pi z \) , \( z \) — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 \]

Данное тождество справедливо только для таких углов \( \alpha \) , которые отличны от \( \dfrac<\pi> <2>z \) . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что \( tg \alpha = \dfrac \) , а \( ctg \alpha=\dfrac \) . Отсюда следует, что \( tg \alpha \cdot ctg \alpha = \dfrac \cdot \dfrac=1 \) . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

\( tg^ <2>\alpha + 1=\dfrac<1> <\cos^<2>\alpha> \) — сумма квадрата тангенса угла \( \alpha \) и \( \alpha \) , отличных от \( \dfrac<\pi><2>+ \pi z \) .

\( 1+ctg^ <2>\alpha=\dfrac<1><\sin^<2>\alpha> \) — сумма \( \alpha \) , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \( \alpha \) , отличного от \( \pi z \) .

Формулы приведения

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin — α + 2 π z = — sin α , cos — α + 2 π z = cos α t g — α + 2 π z = — t g α , c t g — α + 2 π z = — c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = — sin α t g π 2 + α + 2 π z = — c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = — t g α sin π 2 — α + 2 π z = cos α , cos π 2 — α + 2 π z = sin α t g π 2 — α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 — α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = — sin α , cos π + α + 2 π z = — cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π — α + 2 π z = sin α , cos π — α + 2 π z = — cos α t g π — α + 2 π z = — t g α , c t g π — α + 2 π z = — c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = — cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = — c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = — t g α sin 3 π 2 — α + 2 π z = — cos α , cos 3 π 2 — α + 2 π z = — sin α t g 3 π 2 — α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 — α + 2 π z = t g α

Формулы понижения степени

sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α — sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 — 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Источник

Основные тригонометрические тождества: их формулировки и вывод

В статье подробно рассказывается об основных тригонометрических тождествах. Эти равенства устанавливают связь между sin , cos , t g , c t g заданного угла. При известной одной функции можно через нее найти другую.

Тригонометрические тождества для рассмотрения в денной статье. Ниже покажем пример их выведения с объяснением.

sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α

Связь между sin и cos одного угла

Поговорим о важном тригонометрическом тождестве, которое считается основой основ в тригонометрии.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Заданные равенства t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α выводят из основного путем деления обеих частей на sin 2 α и cos 2 α . После чего получаем t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α и t g α · c t g α = 1 — это следствие определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Равенство sin 2 α + cos 2 α = 1 является основным тригонометрическим тождеством. Для его доказательства необходимо обратиться к теме с единичной окружностью .

Пусть даны координаты точки А ( 1 , 0 ) , которая после поворота на угол α становится в точку А 1 . По определению sin и cos точка А 1 получит координаты ( cos α , sin α ) . Так как А 1 находится в пределах единичной окружности, значит, координаты должны удовлетворят условию x 2 + y 2 = 1 этой окружности. Выражение cos 2 α + sin 2 α = 1 должно быть справедливым. Для этого необходимо доказать основное тригонометрическое тождество для всех углов поворота α .

В тригонометрии выражение sin 2 α + cos 2 α = 1 применяют как теорему Пифагора в тригонометрии. Для этого рассмотрим подробное доказательство.

Используя единичную окружность, поворачиваем точку А с координатами ( 1 , 0 ) вокруг центральной точки О на угол α . После поворота точка меняет координаты и становится равной А 1 ( х , у ) . Опускаем перпендикулярную прямую А 1 Н на О х из точки А 1 .

На рисунке отлично видно, что образовался прямоугольный треугольник О А 1 Н . По модулю катеты О А 1 Н и О Н равные, запись примет такой вид: | А 1 H | = | у | , | О Н | = | х | . Гипотенуза О А 1 имеет значение равное радиусу единичной окружности, | О А 1 | = 1 . Используя данное выражение, можем записать равенство по теореме Пифагора: | А 1 Н | 2 + | О Н | 2 = | О А 1 | 2 . Это равенство запишем как | y | 2 + | x | 2 = 1 2 , что означает y 2 + x 2 = 1 .

Используя определение sin α = y и cos α = x , подставим данные угла вместо координат точек и перейдем к неравенству sin 2 α + cos 2 α = 1 .

Основная связь между sin и cos угла возможна через данное тригонометрическое тождество. Таким образом, можно считать sin угла с известным cos и наоборот. Чтобы выполнить это, необходимо разрешать sin 2 α + cos 2 = 1 относительно sin и cos , тогда получим выражения вида sin α = ± 1 — cos 2 α и cos α = ± 1 — sin 2 α соответственно. Величина угла α определяет знак перед корнем выражения. Для подробного выяснения необходимо прочитать раздел вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса с использованием тригонометрических формул.

Чаще всего основную формулу применяют для преобразований или упрощений тригонометрических выражений. Имеется возможность заменять сумму квадратов синуса и косинуса на 1 . Подстановка тождества может быть как в прямом, так и обратном порядке: единицу заменяют на выражение суммы квадратов синуса и косинуса.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Из определения косинуса и синуса, тангенса и котангенса видно, что они взаимосвязаны друг с другом, что позволяет отдельно преобразовывать необходимые величины.

t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α

Из определения синус является ординатой у , а косинус – абсциссой x . Тангенс – это и есть отношения ординаты и абсциссы. Таким образом имеем:

t g α = y x = sin α cos α , а выражение котангенса имеет обратное значение, то есть

c t g α = x y = cos α sin α .

Отсюда следует, что полученные тождества t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α задаются с помощью sin и cos углов. Тангенс считаются отношением синуса к косинусу угла между ними, а котангенс наоборот.

Отметим, что t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α верны для любого значение угла α , значения которого входят в диапазон. Из формулы t g α = sin α cos α значение угла α отлично от π 2 + π · z , а c t g α = cos α sin α принимает значение угла α , отличные от π · z , z принимает значение любого целого числа.

Связь между тангенсом и котангенсом

Имеется формула, которая показывает связь между углами через тангенс и котангенс. Данное тригонометрическое тождество является важным в тригонометрии и обозначается как t g α · c t g α = 1 . Оно имеет смысл при α с любым значением, кроме π 2 · z , иначе функции будут не определены.

Формула t g α · c t g α = 1 имеет свои особенности в доказательстве. Из определения мы имеем, что t g α = y x и c t g α = x y , отсюда получаем t g α · c t g α = y x · x y = 1 . Преобразовав выражение и подставив t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α , получим t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1 .

Тогда выражение тангенса и котангенса имеет смысл того, когда в итоге получаем взаимно обратные числа.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Преобразовав основные тождества, приходим к выводу, что тангенс связан через косинус, а котангенс через синус. Это видно по формулам t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α .

Определение звучит так: сумма квадрата тангенса угла и 1 приравнивается к дроби , где в числителе имеем 1 , а в знаменателе квадрат косинуса данного угла, а сумма квадрата котангенса угла наоборот. Благодаря тригонометрическому тождеству sin 2 α + cos 2 α = 1 , можно разделить соответствующие стороны на cos 2 α и получить t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , где значение cos 2 α не должно равняться нулю. При делении на sin 2 α получим тождество 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α , где значение sin 2 α не должно равняться нулю.

Из приведенных выражений получили, что тождество t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α верно при всех значениях угла α , не принадлежащих π 2 + π · z , а 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α при значениях α , не принадлежащих промежутку π · z .

Источник

Универсальная тригонометрическая подстановка, вывод формул, примеры

Данная статья посвящена разбору такой темы, как универсальная тригонометрическая подстановка. Суть данного термина состоит в том, что мы находим значение любой тригонометрической функции ( sin α , cos α , t g α , c t g α ) через формулу тангенса половинного угла. Этот вариант намного проще и рациональнее, так как выполнять дальнейшие вычисления легче без корней, а с целыми числами.

Мы подробно рассмотрим этот раздел. Для начала мы расскажем вам о формулах тангенса половинного угла, которой мы будем часто пользоваться. После мы перейдем к практическому применении формул, рассмотрим несколько примеров использования универсальной тригонометрической подстановки.

Универсальная тригонометрическая подстановка для sin α , cos α , t g α , c t g α

Во введении мы рассказали, что основной темой этого раздела станет основная тригонометрическая подстановка. Для начала запишем и разберем формулы, с помощью которых можно выразить sin α , cos α , t g α , c t g α через тангенс половинного угла α 2 .

sin α = 2 · t g α 2 1 + t g 2 α 2 , cos α = 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 · t g α 2 1 — t g 2 α 2 , c t g = 1 — t g 2 α 2 2 · t g α 2

Указанные формулы будут правильны для всех углов α . Для работы в задаче должен быть определен входящие тангенсы и котангенсы.

Формулы для sin α и cos α , sin α = 2 · t g α 2 1 + t g 2 α 2 и cos α = 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 имеют место для a ≠ π + 2 π · z , где z – любое целое число, так как при a = π + 2 π · z , t g α 2 не определен.

Формула t g α = 2 · t g α 2 1 — t g 2 α 2 справедлива для α ≠ π 2 + π · z и a ≠ π + 2 π · z , так как при a = π 2 + π · z не определен t g α Знаменатель дроби обращается в нуль, а при α = π + 2 π · z не определен t g α 2 .

Формула c t g = 1 — t g 2 α 2 2 · t g α 2 , выражающая c t g через t g α 2 , справедлива для a ≠ π · z , так как при a = π · z не определен c t g , при a = π + 2 π · z не определен t g α 2 , а при α = 2 π · z знаменатель дроби обращается в нуль.

Вывод формул

Разберем вывод формул, выражающих sin α , cos α , t g α , c t g α через тангенс половинного угла. Начнем с формул для синуса и косинуса. Представим синус и косинус по формулам двойного угла как sin α = 2 · sin α 2 · cos α 2 и cos α = cos 2 α 2 — sin 2 α 2 соответственно. Теперь выражения 2 · sin α 2 · cos α 2 и cos 2 α 2 — sin 2 α 2 запишем в виде дробей со знаменателем 1 как 2 · sin α 2 · cos α 2 1 и cos 2 α 2 — sin 2 α 2 1 . Воспользуемся основным тождеством из тригонометрии и заменим единицы в знаменателе на сумму квадратов sin и cos , после чего получаем 2 · sin α 2 · cos α 2 sin 2 α 2 + cos 2 α 2 и cos 2 α 2 — sin 2 α 2 sin 2 α 2 + cos 2 α 2

Для решения данного выражения необходимо числитель и знаменатель полученных дробей разделить на cos 2 α 2 (его значение не равно нулю при условии α ≠ π + 2 π · z ). Вся формула будет выглядеть так sin α = 2 · sin α 2 · cos α 2 = 2 · sin α 2 · cos α 2 sin 2 α 2 + cos 2 α 2 = 2 · sin α 2 · cos α 2 cos 2 α 2 sin 2 α 2 + cos 2 α 2 cos 2 α 2 = 2 · sin α 2 cos α 2 sin 2 α 2 с os 2 α 2 + cos 2 α 2 с os 2 α 2 = 2 · t g α 2 t g 2 α 2 + 1

и cos α = cos 2 α 2 — sin 2 α 2 = c os 2 α 2 — sin 2 α 2 1 = c os 2 α 2 — sin 2 α 2 sin 2 α 2 + c os 2 α 2 = = cos 2 α 2 — sin 2 α 2 c os 2 α 2 sin 2 α 2 + c os 2 α 2 c os 2 α 2 = cos 2 α 2 cos 2 α 2 — sin 2 α 2 cos 2 α 2 sin 2 α 2 c os 2 α 2 + cos 2 α 2 c os 2 α 2 = 1 — t g 2 α 2 t g 2 α 2 + 1

Мы закончили вывод формул для sin и cos , завершив все вычислительные действия.

Следующий шаг – это вывод определенных формул для нахождения t g и c t g .

Взяв за основу описанные выше примеры t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α , мы сразу получаем формулы, которые выражают тангенс и котангенс через тангенс половинного угла:

t g α = sin α cos α = 2 · t g α 2 1 + t g 2 α 2 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 = 2 · t g α 2 1 — t g 2 α 2 ;

c t g α = cos α sin α = 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 2 · t g α 2 1 + t g 2 α 2 = 1 — t g 2 α 2 2 · t g α 2 ;

В этом разделе мы нашли все формулы, которые нам потребуются для выражения основных тригонометрических функций.

Примеры использования в задачах и упражнениях

Для начала рассмотрим пример применения универсальной тригонометрической подстановки при преобразовании выражений.

Необходимо привести 2 + 3 · cos 4 α sin 4 α — 5 к примеру, который содержит только одну функцию t g 2 α .

В данном упражнении мы также воспользуемся универсальной подстановкой, которая является одним из важных правил тригонометрии. Применим к косинусу и синусу 4 α те самые формулировки, которые выражают основные функции через тангенс половинного угла. Получив сложное выражение, нам остается только его упростить.

2 + 3 · cos 4 α sin 4 α — 5 = 2 + t g 2 2 α t g 2 2 α + 1 2 · t g 2 α t g 2 2 α + 1 — 5 = 2 · t g 2 2 α + 2 + 3 — 3 · t g 2 2 α t g 2 2 α + 1 2 · t g 2 α — 5 · 2 · t g 2 2 α — 5 t g 2 2 α + 1 = t g 2 2 α — 5 5 · t g 2 2 α — 2 · t g 2 α + 5

2 + 3 · cos 4 α sin 4 α — 5 = t g 2 2 α — 5 5 · t g 2 2 α — 2 · t g 2 α + 5 .

Вспомним, что во введении мы подробно рассказали, как менять sin α , cos α , t g α , c t g α в частных случаях. Она заключается в том, чтобы преобразовать первоначальное рациональное выражение, содержащее sin , cos , t g и c t g , к выражению с одной функцией благодаря формуле. Это намного проще и понятнее. Мы выражаем все формулы через t g половинного угла. Данное преобразование обязательно пригодится при решении разнообразных уравнений и задач, интегрировании основных функций sin α , cos α , t g α , c t g α .

Источник