Как вывести уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции

Пусть дана функция f , которая в некоторой точке x ₀ имеет конечную производную f ( x ₀). Тогда прямая, проходящая через точку ( x ₀; f ( x ₀)), имеющая угловой коэффициент f ’( x ₀), называется .

А что будет, если производная в точке x ₀ не существует? Возможны два варианта:

1. Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция y = | x | в точке (0; 0).
2. Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π /2).

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b , где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x ₀, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f ( x ), которая имеет производную y = f ’( x ) на отрезке [ a ; b ]. Тогда в любой точке x ₀ ∈ ( a ; b ) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

Здесь f ’( x ₀) — значение производной в точке x ₀, а f ( x ₀) — значение самой функции.

Задача. Дана функция y = x 3 . Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x ₀ = 2.

Уравнение касательной: y = f ’( x ₀) · ( x − x ₀) + f ( x ₀). Точка x ₀ = 2 нам дана, а вот значения f ( x ₀) и f ’( x ₀) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f ( x ₀) = f (2) = 2 3 = 8;
Теперь найдем производную: f ’( x ) = ( x 3 )’ = 3 x 2 ;
Подставляем в производную x ₀ = 2: f ’( x ₀) = f ’(2) = 3 · 2 2 = 12;
Итого получаем: y = 12 · ( x − 2) + 8 = 12 x − 24 + 8 = 12 x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f ( x ) = 2sin x + 5 в точке x ₀ = π /2.

В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие — укажем лишь ключевые шаги. Имеем:

f ( x ₀) = f ( π /2) = 2sin ( π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’( x ) = (2sin x + 5)’ = 2cos x ;
f ’( x ₀) = f ’( π /2) = 2cos ( π /2) = 0;

y = 0 · ( x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет — просто мы наткнулись на точку экстремума.

Источник

Касательная и нормаль к графику функции

Основные формулы

Пусть на некотором интервале X задана функция . Нас интересуют геометрические характеристики графика этой функции в некоторой заданной точке при значении аргумента , где . Пусть функция имеет в производную, которую будем обозначать как . Тогда через точку мы можем провести касательную к графику. Тангенс угла α между осью абсцисс x и касательной равен производной функции в точке :
(1) .
А само уравнение касательной имеет вид:
(2) .
В аналитической геометрии тангенс угла между прямой и осью абсцисс называют угловым коэффициентом прямой. Таким образом производная равна угловому коэффициенту касательной в .
См. Геометрический смысл производной

Прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через точку , называется нормалью к графику функции в этой точке. Уравнение нормали имеет вид:
(3) .
См. Уравнение прямой с угловым коэффициентом ⇓

Пусть две кривые и пересекаются в точке . Тогда угол φ между касательными к этим кривым в точке называется углом между кривыми. Он определяется по формуле:
(4) , где .
Отсюда .
при .
Вывод формулы ⇓

Определения

Здесь мы приводим определения, которые встречаются в литературе, и имеют отношение к касательной и нормали. Вывод формул приводится в примере 1 ⇓.

Определение касательной приводится здесь. Уравнение касательной:
.

Касательная TM₀, нормаль M₀N, подкасательная TP, поднормаль PN. Нормалью к графику функции в точке называется прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через эту точку. Уравнение нормали:
.
Отрезком касательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и точкой .
.
Отрезком нормали называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и точкой .
.
Подкасательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Поднормалью называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к кривым, проведенных через точку .

Полезные формулы из аналитической геометрии

Далее приводятся некоторые сведения из аналитической геометрии, которые могут оказаться полезными при решении задач.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
.
Здесь – направляющий вектор прямой.

Умножив это уравнение на , получим уравнение прямой в другом виде:
.
Здесь – вектор нормали прямой. Тогда само уравнение означает равенство нулю скалярного произведения векторов и .

Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид:
.
Вектор называется направляющим вектором данной прямой. Это уравнение можно написать в параметрическом виде, введя параметр t :

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид:
.
Вектор называется вектором нормали данной прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через точку :
.
Угол α между прямой и осью x определяется по формуле:
.
Если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты и связаны соотношением:
.

Уравнение прямой в отрезках, пересекающей оси координат в точках :
.

Примеры решения задач

Все примеры Ниже рассмотрены примеры решений следующих задач.
1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали. Решение ⇓
2. Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде
, проведенных в точке . Решение ⇓
3. Заданной в неявном виде . Решение ⇓
4. Найти угол между кривыми и Решение ⇓

Пример 1

Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали.

Находим значение функции при :
.

Находим производную:
.
Находим производную в точке :
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (2):
;
;
;
– уравнение касательной.
Строим касательную на графике. Поскольку касательная – это прямая, то нам нужно знать положения двух ее точек, и провести через них прямую.
При ;
при .
Проводим касательную через точки и .

Касательная и нормаль к графику функции y=x 2 в точке M₀(1;1).

Найдем угол α между касательной и осью абсцисс по формуле (1):
.
Подставляем :
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3):
;
;
;
;
;
– уравнение нормали.
Строим нормаль по двум точкам.
При ;
при .
Проводим нормаль через точки и .

Находим длину отрезка касательной . Из прямоугольника имеем:
.
Поясним использованную формулу. Поскольку , то . Тогда
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка подкасательной . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка нормали . Поскольку и , то треугольники и подобны. Тогда . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка поднормали . Из прямоугольника имеем:
.

Примечание.
При выводе формул, можно сначала определить длины отрезков подкасательной и поднормали, а затем из прямоугольников, по теореме Пифагора, найти длины отрезков касательной и нормали:
;
.

Уравнение касательной: ; уравнение нормали: ;
длина отрезка касательной: ; длина отрезка нормали: ; длина подкасательной: ; длина поднормали: .

Пример 2

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде , проведенных в точке .

Находим значения переменных при .
;
.
Обозначим эту точку как .

Находим производные переменных x и y по параметру t .
;
;
;
;
.

Подставляя , находим производную y по x в точке .
.

Касательная и нормаль к циссоиде в точке (2;2).

Применяя формулу (2), находим уравнение касательной к циссоиде, проходящей через точку .
;
;
;
.

Применяя формулу (3), находим уравнение нормали к циссоиде в точке .
;
;
;
.

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 3

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в неявном виде:
(П3) ,
проведенных в точке .

Для получения уравнение касательной и нормали, нам нужно знать значение производной функции в заданной точке. Функция (П3) задана неявно. Поэтому применяем правило дифференцирования неявной функции. Для этого дифференцируем (П3) по x , считая, что y является функцией от x .
;
;
;
.
Отсюда
.

Находим производную в заданной точке, подставляя .
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (2).
;
;
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3).
;
;
;
.

Касательная и нормаль к циссоиде изображены на рисунке ⇑.

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 4

Найти угол между кривыми и .

Найдем множество точек пересечения кривых, решая систему уравнений.

Левые части равны. Приравниваем правые части и выполняем преобразования.
;
(П4) .
Поскольку функция строго монотонна, то уравнение (П4) имеет один корень:
.
При . Кривые пересекаются в единственной точке . Обозначим ее как , где .

Введем обозначения для функций, с помощью которых заданы кривые:
.
Найдем их производные.
;
.
Найдем значения производных в точке , подставляя .
;
.

Ниже приводятся графики функций ⇓ и вывод формулы угла между кривыми.

Вывод формулы для угла между кривыми

Изложим вывод формулы (4). Для иллюстрации используем только что рассмотренный пример ⇑, в котором .

Рассмотрим две кривые, заданные уравнениями и , и пересекающиеся в некоторой точке . Докажем, что угол между кривыми определяется по формуле (4):
, где .
Или ;
при .

Проведем касательные к графикам функций в точке . Углы, которые образуют касательные с осью x обозначим как и . За положительное направление выберем направление против часовой стрелки. На рисунке . Считаем, что значения углов принадлежат интервалам . Согласно геометрическому смыслу производной,
.

В аналитической геометрии принято, что угол φ между прямыми равен наименьшему значению угла между ними.
Если , то ;
если , то .
Таким образом величина угла φ между касательными может находиться только в пределах
(Ф2) .

На рисунке угол между лучами и больше 90°, а между лучами и – меньше. Поэтому .

При доказательстве мы будем использовать соотношение:
, которое выполняется при .
Тогда в силу (Ф2),
.
Случай мы рассмотрим отдельно.

1) Пусть .
Тогда угол между прямыми . И мы имеем:
.
В конце мы подставили (Ф1).

2) Пусть .
Тогда ; . Поэтому . Это можно записать так: . Также применим формулу: . В результате получаем:

.

Этот случай изображен на рисунке ⇑.

3) Пусть .
При этом касательные взаимно перпендикулярны, . В этом случае , что указано в (4).

Использованная литература:
П.Е. Данько, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. Москва, Высшая школа, 1980.
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, Физматлит, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 30-06-2021

Источник

1. Уравнение касательной к графику функции

Теория:

Даны функция \(y=f(x)\) и точка \(M(a;f(a))\); известно, что существует f ′ ( a ) .
Уравнение касательной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(M\) имеет вид \(y=kx+m\). Найдём значения коэффициентов \(k\) и \(m\).

Известно, что k = f ′ ( a ) . Для вычисления значения \(m\) воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку \(M(a;f(a))\).
При подстановке координаты точки \(M\) в уравнение прямой, получим верное равенство \(f(a)=ka+m\), т. е. \(m=f(a)-ka\).

Подставим найденные значения коэффициентов \(k\) и \(m\) в уравнение прямой:

y = kx + m ; y = kx + ( f ( a ) − ka ) ; y = f ( a ) + k ( x − a ) ; y = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) .

Нами получено уравнение касательной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(x=a\).

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции \(y=f(x)\)

1. Обозначаем абсциссу точки касания буквой \(a\).

3. Находим f ′ ( x ) и вычисляем f ′ ( a ) .

4. Подставляем найденные числа \(a\), \(f(a)\), f ′ ( a ) в формулу y = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) .

Для функции \(y=f(x)\), имеющей производную в фиксированной точке \(x\), справедливо приближенное равенство Δ y ≈ f ′ ( x ) ⋅ Δ x ;

или, подробнее, f ( x + Δ x ) − f ( x ) ≈ f ′ ( x ) ⋅ Δ x .

В этом приближённом равенстве заменим \(x\) на \(a\), вместо x + Δ x будем писать \(x\) и тогда Δ x будет равно \(x-a\). Получим:

f ( x ) − f ( a ) ≈ f ′ ( a ) ( x − a ) или f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) .

Смысл равенства заключается в том, что приближенное значение функции в точке \(x\) равно значению касательной в этой точке.

Источник

10.3.1. Уравнение касательной

Выведем уравнение касательной к графику функции y=f (x) в точке с абсциссой х₀. Для наглядности используем график из предыдущего урока 10.3. («Определение производной. Геометрический смысл производной») и выведем уравнение касательной МТ.

Так как точку М мы взяли произвольно, то должны получить уравнение касательной, которое будет справедливо для любой функции y=f (x), имеющей касательную в определенной точке с абсциссой х₀.

Итак, любую прямую можно записать в виде y=kx+b, где k — угловой коэффициент прямой. Мы теперь знаем, что в качестве углового коэффициента можно взять f ‘(х₀) — значение производной функции y=f (x) в точке с абсциссой х₀. Эта точка является общей точкой для функции и для касательной МТ.

Таким образом, касательная МТ имеет вид: y=f ‘(х₀)·x+b. Осталось определить значение b. Это мы сделаем просто: подставим координаты точки М в последнее равенство, т.е. вместо х запишем х₀, а вместо у подставим f (х₀). Получаем равенство:

f (х₀) =f ‘(х₀)·х₀+b.

Отсюда b=f (х₀) — f ‘(х₀)·х₀. Подставляем это значение b в равенство: y=f ‘(х₀)·x+b. Тогда:

y =f ‘(х₀)·х+f (х₀) — f ‘(х₀)·х₀. Упростим.

y=f (х₀)+(f ‘(х₀)·х — f ‘(х₀)·х₀) или

y=f (х₀)+f ‘(х₀)(х — х₀). Это и есть искомое уравнение касательной МТ.

Выполнить следующие задания.

1. Написать уравнение касательной к графику функции y=x 2 в точке x₀=3. Сделать чертеж.

Решение.

Запишем уравнение касательной к графику функции y=f (x) в точке с абсциссой x₀ в общем виде:

Находим значение данной функции в точке с данной абсциссой:

f (x₀)=f (3)=3 2 = 9 .

Находим производную f ‘(x)=(x 2 )’=2x и находим значение этой производной при х=3.

Тогда f ‘(x₀)=f ‘(3)=2·3= 6 .

Подставим найденные значения

f (x₀)= 9 и f ‘(x₀)= 6 в уравнение касательной, получим:

y= 9 + 6 ·(x-3);

y= 6 x-9 — искомое уравнение касательной.

Ответ: y= 6 x-9.

2. Написать уравнение касательной к графику функции

Решение.

Записываем общее уравнение касательной: y=f (x₀) +f ‘(x₀)(x-x₀). Находим значение данной функции в точке х=1, получаем:

f (x₀)=f (1) = 1 . Найдем производную данной функции по формуле производной степени:

f ‘(x)=(x -2 )=-2x -2-1 =-2x -3 .

Находим значение этой производной при х=1.

f ‘(x₀)=f (1)=-2·(1) -3 = -2 . Подставляем найденные значения в общее уравнение касательной:

y= 1 —2 (x-1);

y= -2 x+3 — искомое уравнение касательной.

Ответ: y=- 2 x+3.

Источник