Косинус двойного угла как вывести

Как вспомнить забытую тригонометрическую формулу? Вывести!

Перестаньте путаться в синусах, косинусах, тангенсах и котангенсах и связывающих их формулах

На олимпиаде по математике с большой степенью вероятности, а на внешнем независимом тестировании – уж наверняка встретятся задания по тригонометрии. Тригонометрию часто не любят за необходимость зубрить огромное количество трудных формул, кишащих синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами. На сайте уже когда-то давались советы, как вспомнить забытую формулу, на примере формул Эйлера и Пиля.

А в этой статье мы постараемся показать, что достаточно твёрдо знать всего пять простейших тригонометрических формул, а об остальных иметь общее представление и выводить их по ходу дела. Это как с ДНК: в молекуле не хранятся полные чертежи готового живого существа. Там содержатся, скорее, инструкции по его сборке из имеющихся аминокислот. Так и в тригонометрии, зная некоторые общие принципы, мы получим все необходимые формулы из небольшого набора тех, которые нужно обязательно держать в голове.

Будем опираться на следующие формулы:

1. Основное тригонометрическое тождество: sin2 a+cos2a = 1
2. Определение тангенса:
3. Определение котангенса:
4. Формула синуса суммы: sin(a+b) = sinacosb+cosasinb
5. Формула косинуса суммы: cos(a+b) = cosacosb—sinasinb

Из формул синуса и косинуса сумм, зная о чётности функции косинуса и о нечётности функции синуса, подставив -b вместо b, получаем формулы для разностей:

1. Синус разности: sin(a-b) = sinacos(-b)+cosasin(-b) = sinacosb—cosasinb
2. Косинус разности: cos(a-b) = cosacos(-b)—sinasin(-b) = cosacosb+sinasinb

Поставляя в эти же формулы a = b, получаем формулы синуса и косинуса двойных углов:

1. Синус двойного угла: sin2a = sin(a+a) = sinacosa+cosasina = 2sinacosa
2. Косинус двойного угла: cos2a = cos(a+a) = cosacosa—sinasina = cos2 a—sin2 a

Аналогично получаются и формулы других кратных углов:

1. Синус тройного угла: sin3a = sin(2a+a) = sin2acosa+cos2asina = (2sinacosa)cosa+(cos2 a—sin2 a)sina = 2sinacos2 a+sinacos2 a—sin 3 a = 3sinacos2 a—sin 3 a = 3sina(1-sin2 a)-sin 3 a = 3sina-4sin 3 a
2. Косинус тройного угла: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa—sin2asina = (cos2 a—sin2 a)cosa-(2sinacosa)sina = cos 3 a-sin2 acosa-2sin2 acosa = cos 3 a-3sin2 acosa = cos 3 a-3(1-cos2 a)cosa = 4cos 3 a-3cosa

Прежде чем двигаться дальше, рассмотрим одну задачу.
Дано: угол — острый.
Найти его косинус, если
Решение, данное одним учеником:
Т.к. , то sina = 3,а cosa = 4.
(Из математического юмора)

Итак, определение тангенса связывает эту функцию и с синусом, и с косинусом. Но можно получить формулу, дающую связь тангенса только с косинусом. Для её вывода возьмём основное тригонометрическое тождество: sin 2 a+cos 2 a = 1 и разделим его на cos 2 a. Получим:

1. Связь тангенса и косинуса:

Так что решением этой задачи будет:

(Т.к. угол острый, при извлечении корня берётся знак +)

1. Аналогично получаем связь котангенса и синуса:

Формула тангенса суммы – ещё одна, тяжело поддающаяся запоминанию. Выведем её так:

1. Формула тангенса суммы: . Разделив числитель и знаменатель на произведение косинусов, получим:

Сразу выводится и

1. Формула тангенса двойного угла:

Из формулы косинуса двойного угла можно получить формулы синуса и косинуса для половинного. Для этого к левой части формулы косинуса двойного угла:
cos2a = cos 2 a—sin 2 a
прибавляем единицу, а к правой – тригонометрическую единицу, т.е. сумму квадратов синуса и косинуса.
cos2a+1 = cos 2 a—sin 2 a+cos 2 a+sin 2 a
2cos 2 a = cos2a+1
Выражая cosa через cos2a и выполняя замену переменных, получаем:

1. Косинус половинного угла:

Знак берётся в зависимости от квадранта.

Аналогично, отняв от левой части равенства единицу, а от правой — сумму квадратов синуса и косинуса, получим:
cos2a-1 = cos 2 a—sin 2 a—cos 2 a—sin 2 a
2sin 2 a = 1-cos2a

1. Cинус половинного угла:

И, наконец, чтобы преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение, используем следующий приём. Допустим, нам нужно представить в виде произведения сумму синусов sina+sinb. Введём переменные x и y такие, что a = x+y, b+x-y. Тогда
sina+sinb = sin(x+y)+sin(x-y) = sinxcosy+cosxsiny+sinxcosy-cosxsiny = 2sinxcosy. Выразим теперь x и y через a и b.

Поскольку a = x+y, b = x-y, то . Поэтому

1. Представление суммы синусов в виде произведения:

Сразу же можно вывести

1. Формулу для разбиения произведения синуса и косинуса в сумму: sinacosb = 0.5(sin(a+b)+sin(a-b))

Рекомендуем потренироваться и вывести самостоятельно формулы для преобразования в произведение разности синусов и суммы и разности косинусов, а также для разбиения в сумму произведений синусов и косинусов. Проделав эти упражнения, вы досконально освоите мастерство вывода тригонометрических формул и не потеряетесь даже на самой сложной контрольной, олимпиаде или тестировании.

Источник

Тригонометрические формулы: косинус, синус и тангенс двойного угла

Формулы двойного угла дают возможность выразить тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) угла ` 2\alpha` через эти самые функции угла `\alpha`.

Перечень всех формул двойного угла

Записанный ниже список — это основные формулы двойного угла, которые наиболее часто используются в тригонометрии. Для косинуса их есть три, они все равносильны и одинаково важны.

`sin \ 2\alpha=` `2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1`
`tg \ 2\alpha=\frac<2 \ tg \alpha><1-tg^2 \alpha>`
`ctg \ 2\alpha=\frac<2 \ ctg \alpha>`

Следующие тождества выражают все тригонометрические функции угла ` 2\alpha` через функции тангенс и котангенс угла `\alpha`.

Формулы для косинуса и синуса двойного угла выполняются для любого угла `\alpha`. Формулы для тангенса двойного угла справедливы для тех `\alpha`, при которых определен `tg \ 2\alpha`, то есть при ` \alpha\ne\frac\pi4+\frac\pi2 n, \ n \in Z`. Аналогично, для котангенса они имеют место для тех `\alpha`, при которых определен `ctg \ 2\alpha`, то есть при ` \alpha\ne\frac\pi2 n, \ n \in Z`.

Доказательство формул двойного угла

Все формулы двойного угла выводятся из формул сумы и разности углов тригонометрических функций.

Возьмем две формулы, для сумы углов синуса и косинуса:

`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta` и `cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`. Возьмем `\beta=\alpha`, тогда `sin(\alpha+\alpha)=` `sin \ \alpha\ cos \ \alpha+cos \ \alpha\ sin \ \alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`, аналогично `cos(\alpha+\alpha)=` `cos \ \alpha\ cos \ \alpha-sin \ \alpha\ sin \ \alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, что и доказывает формулы двойного угла для синуса и косинуса.

Два другие равенства для косинуса ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` и `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1` сводятся к уже доказанному, если в них заменить 1 на `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`. Так `1-2 \ sin^2 \alpha=` `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha-2 \ sin^2 \alpha=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha` и `2 \ cos^2 \alpha-1=` `2 \ cos^2 \alpha-(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`.

Чтобы доказать формулы тангенса двойного угла и котангенса, воспользуемся определением этих функций. Запишем `tg \ 2\alpha` и `ctg \ 2\alpha` в виде `tg \ 2\alpha=\frac ` и `ctg \ 2\alpha=\frac `. Применив уже доказанные формулы двойного угла для синуса и косинуса, получим `tg \ 2\alpha=\frac =\frac <2 \ sin \alpha cos>` и `ctg \ 2\alpha=\frac =` `\frac <2 \ sin \alpha cos>`.

В случае с тангенсом разделим числитель и знаменатель конечной дроби на `cos^2 \alpha`, для котангенса в свою очередь — на `sin^2 \alpha`.

Предлагаем еще посмотреть видео, чтобы лучше закрепить теоретический материал:

Примеры использования формул при решении задач

Формулы двойного угла в большинстве случаев используются для преобразование тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые из случаем, как можно на практике применять их при решений конкретных задач.

Пример 1. Проверить справедливость тождеств двойного угла для `\alpha=30^\circ`.

Решение. В наших формулах используется два угла `\alpha` и `2\alpha`. Значение первого угла задано в условии, второго соответственно будет `2\alpha=60^\circ`. Также нам известны числовые значения для всех тригонометрических функций этих углов. Запишем их:

`sin 30^\circ=\frac 1 2`, `cos 30^\circ=\frac <\sqrt 3>2`, `tg 30^\circ=\frac <\sqrt 3>3`, `ctg 30^\circ=\sqrt 3` и

`sin 60^\circ=\frac <\sqrt 3>2`, `cos 60^\circ=\frac 1 2`, `tg 60^\circ=\sqrt 3`, `ctg 60^\circ=\frac <\sqrt 3>3`.

Тогда будем иметь

`sin 60^\circ=2 sin 30^\circ cos 30^\circ=` `2 \cdot \frac 1 2 \cdot \frac <\sqrt 3>2=\frac <\sqrt 3>2`,

`cos 60^\circ=cos^2 30^\circ-sin^2 30^\circ=` `(\frac <\sqrt 3>2)^2 \cdot (\frac 1 2)^2=\frac 1 2`,

Что и доказывает справедливость равенств для заданного в условии угла.

Пример 2. Выразить `sin \frac <2\alpha>3` через тригонометрические функции угла `\frac <\alpha>6`.

Решение. Запишем угол синуса следующим образом ` \frac <2\alpha>3=4 \cdot \frac <\alpha>6`. Тогда, применив два раза формулы двойного угла, мы сможем решить нашу задачу.

Вначале воспользуемся равенством синуса двойного угла: ` sin\frac <2\alpha>3=2 \cdot sin\frac <\alpha>3 \cdot cos\frac <\alpha>3 `, теперь снова применим наши формулы для синуса и косинуса соответственно. В результате получим:

` sin\frac <2\alpha>3=2 \cdot sin\frac <\alpha>3 \cdot cos\frac <\alpha>3=` `2 \cdot (2 \cdot sin\frac <\alpha>6 \cdot cos\frac <\alpha>6) \cdot (cos^2\frac <\alpha>6-sin^2\frac <\alpha>6)=` `4 \cdot sin\frac <\alpha>6 \cdot cos^3 \frac <\alpha>6-4 \cdot sin^3\frac <\alpha>6 \cdot cos \frac <\alpha>6`.

Ответ. ` sin\frac <2\alpha>3=` `4 \cdot sin\frac <\alpha>6 \cdot cos^3 \frac <\alpha>6-4 \cdot sin^3\frac <\alpha>6 \cdot cos \frac <\alpha>6`.

Формулы тройного угла

Эти формулы, аналогично к предыдущим, дают возможность выразить функции угла ` 3\alpha` через эти самые функции угла `\alpha`.

Доказать их можно, используя равенства сумы и разности углов, а также хорошо известные нам формулы двойного угла.

`sin \ 3\alpha= sin (2\alpha+ \alpha)=` `sin 2\alpha cos \alpha+cos 2\alpha sin \alpha=` `2 sin \alpha cos \alpha cos \alpha+(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) sin \alpha=` `3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha`.

Заменим в полученной формуле `sin \ 3\alpha=3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha` `cos^2\alpha` на `1-sin^2\alpha` и получим `sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`.

Также и для косинуса тройного угла:

`cos \ 3\alpha= cos (2\alpha+ \alpha)=` `cos 2\alpha cos \alpha-sin 2\alpha sin \alpha=` `(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) cos \alpha-2 sin \alpha cos \alpha sin \alpha+=` `cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha`.

Заменив в конечном равенстве `cos \ 3\alpha=cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha` `sin^2\alpha` на `1-cos^2\alpha`, получим `cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`.

С помощью доказанных тождеств для синуса и косинуса можно доказать для тангенса и котангенса:

Для доказательства формул угла ` 4\alpha` можно представить его как ` 2 \cdot 2\alpha` и примерить два раза формулы двойного угла.

Для вывода аналогичных равенств для угла ` 5\alpha` можно записать его, как ` 3\alpha + 2\alpha` и применить тождества суммы и разности углов и двойного и тройного угла.

Аналогично выводятся все формулы для других кратных углов, то нужны они на практике крайне редко.

Источник