Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакууме. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.
Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка . Произведение модуля вектора на площадь и на косинус угла α между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку (рис. 1.3.1):
,
где – модуль нормальной составляющей поля
Рисунок 1.3.1.
Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность . Если разбить эту поверхность на малые площадки Δ, определить элементарные потоки Δ поля через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток вектора через замкнутую поверхность (рис. 1.3.2):
В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль .
Рисунок 1.3.2.
Теорема Гаусса утверждает:
Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε0.
Для доказательства рассмотрим сначала сферическую поверхность , в центре которой находится точечный заряд . Электрическое поле в любой точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю
где – радиус сферы. Поток через сферическую поверхность будет равен произведению на площадь сферы 4π. Следовательно,
Окружим теперь точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса (рис. 1.3.3).
Рисунок 1.3.3.
Рассмотрим конус с малым телесным углом при вершине. Этот конус выделит на сфере малую площадку , а на поверхности – площадку . Элементарные потоки и Δ через эти площадки одинаковы. Действительно,
.
Здесь Δ – площадка, выделяемая конусом с телесным углом ΔΩ на поверхности сферы радиуса .
Так как а следовательно Отсюда следует, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку 0 через поверхность вспомогательной сферы:
Аналогичным образом можно показать, что, если замкнутая поверхность не охватывает точечного заряда , то поток = 0. Такой случай изображен на рис. 1.3.2. Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность насквозь. Внутри поверхности зарядов нет, поэтому в этой области силовые линии не обрываются и не зарождаются.
Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов вытекает из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов можно представить как векторную сумму электрических полей точечных зарядов. Поток системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность будет складываться из потоков электрических полей отдельных зарядов. Если заряд оказался внутри поверхности , то он дает вклад в поток, равный если же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электрического поля в поток будет равен нулю.
Таким образом, теорема Гаусса доказана.
Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона.
Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.
Примером может служить задача о вычислении поля тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра радиуса . Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Поэтому для применения теоремы Гаусса целесообразно выбрать замкнутую поверхность в виде соосного цилиндра некоторого радиуса и длины , закрытого с обоих торцов (рис. 1.3.4).
Рисунок 1.3.4.
При весь поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна , так как поток через оба основания равен нулю. Применение теоремы Гаусса дает:
где τ – заряд единицы длины цилиндра. Отсюда
Этот результат не зависит от радиуса заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной однородно заряженной нити.
Для определения напряженности поля внутри заряженного цилиндра нужно построить замкнутую поверхность для случая . В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен . Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.
Аналогичным образом можно применить теорему Гаусса для определения электрического поля в ряде других случаев, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией, например, симметрией относительно центра, плоскости или оси. В каждом из таких случаев нужно выбирать замкнутую гауссову поверхность целесообразной формы. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность нужно выбирать в виде соосного цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере). Если распределение зарядов не обладает какой-либо симметрией и общую структуру электрического поля угадать невозможно, применение теоремы Гаусса не может упростить задачу определения напряженности поля.
Рассмотрим еще один пример симметричного распределения зарядов – определение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1.3.5).
Рисунок 1.3.5.
В этом случае гауссову поверхность целесообразно выбрать в виде цилиндра некоторой длины, закрытого с обоих торцов. Ось цилиндра направлена перпендикулярно заряженной плоскости, а его торцы расположены на одинаковом расстоянии от нее. В силу симметрии поле равномерно заряженной плоскости должно быть везде направлено по нормали. Применение теоремы Гаусса дает:
где σ – поверхностная плотность заряда , т. е. заряд, приходящийся на единицу площади.
Полученное выражение для электрического поля однородно заряженной плоскости применимо и в случае плоских заряженных площадок конечного размера. В этом случае расстояние от точки, в которой определяется напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значительно меньше размеров площадки.
Источник
Теорема Остроградского—Гаусса
Разделы: Физика
Класс: 10
Ключевые слова: теория
Цель урока: Теорема Остроградского–Гаусса была установлена русским математиком и механиком Михаилом Васильевичем Остроградским в виде некоторой общей математической теоремы и немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом. Данная теорема может быть использована при изучении физики на профильном уровне, так как позволяет более рационально производить расчёты электрических полей.
Вектор электрической индукции
Для вывода теоремы Остроградского–Гаусса необходимо ввести такие важные вспомогательные понятия, как вектор электрической индукции и поток этого вектора Ф.
Известно, что электростатическое поле часто изображают при помощи силовых линий. Предположим, что мы определяем напряжённость в точке, лежащей на границе раздела двух сред: воздуха(=1) и воды (=81). В этой точке при переходе из воздуха в воду напряжённость электрического поля согласно формуле уменьшится в 81 раз. Если пренебречь проводимостью воды, то во столько же раз уменьшится число силовых линий. При решении различных задач на расчёт полей из-за прерывности вектора напряжённости на границе раздела сред и на диэлектриках создаются определённые неудобства. Чтобы избежать их, вводится новый вектор , который называется вектором электрической индукции:
Вектор электрической индукции равен произведению вектора на электрическую постоянную и на диэлектрическую проницаемость среды в данной точке.
Очевидно, что при переходе через границу двух диэлектриков число линий электрической индукции не изменяется для поля точечного заряда (1).
В системе СИ вектор электрической индукции измеряется в кулонах на квадратный метр (Кл/м 2 ). Выражение (1) показывает, что численное значение вектора не зависит от свойств среды. Поле вектора графически изображается аналогично полю напряжённости (например, для точечного заряда см. рис.1). Для поля вектора имеет место принцип суперпозиции:
Поток электрической индукции
Вектор электрической индукции характеризует электрическое поле в каждой точке пространства. Можно ввести ещё одну величину, зависящую от значений вектора не в одной точке, а во всех точках поверхности, ограниченной плоским замкнутым контуром.
Для этого рассмотрим плоский замкнутый проводник (контур) с площадью поверхности S, помещённый в однородное электрическое поле. Нормаль к плоскости проводника составляет угол с направлением вектора электрической индукции (рис. 2).
Потоком электрической индукции через поверхность S называют величину, равную произведению модуля вектора индукции на площадь S и на косинус угла между вектором и нормалью :
Вывод теоремы Остроградского–Гаусса
Эта теорема позволяет найти поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность, внутри которой находятся электрические заряды.
Пусть вначале один точечный заряд q помещён в центр сферы произвольного радиуса r1 (рис. 3). Тогда ; . Вычислим полный поток индукции проходящий через всю поверхность этой сферы: ; (). Если возьмём сферу радиуса , то также Ф = q. Если проведём сферу , не охватывающую заряд q, то полный поток Ф = 0 (так как каждая линия войдёт в поверхность, а другой раз выйдет из неё).
Таким образом, Ф = q, если заряд расположен внутри замкнутой поверхности и Ф = 0, если заряд расположен вне замкнутой поверхности. Поток Ф от формы поверхности не зависит. Он также не зависит от расположения зарядов внутри поверхности. Это значит, что полученный результат справедлив не только для одного заряда, но и для какого угодно числа произвольно расположенных зарядов, если только подразумевать под q алгебраическую сумму всех зарядов, находящихся внутри поверхности.
Теорема Гаусса: поток электрической индукции через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме всех зарядов, находящихся внутри поверхности: .
Из формулы видно, что размерность электрического потока такая же, как и электрического заряда. Поэтому единицей потока электрической индукции служит кулон (Кл).
Примечание: если поле неоднородно и поверхность, через которую определяют поток, не является плоскостью, то эту поверхность можно разбить на бесконечно малые элементы ds и каждый элемент считать плоским, а поле возле него однородным. Поэтому для любого электрического поля поток вектора электрической индукции через элемент поверхности есть: dФ =. В результате интегрирования полный поток через замкнутую поверхность S в любом неоднородном электрическом поле равен: , где q – алгебраическая сумма всех зарядов, окружённых замкнутой поверхностью S. Выразим последнее уравнение через напряжённость электрического поля (для вакуума): .
Это одно из фундаментальных уравнений Максвелла для электромагнитного поля, записанное в интегральной форме. Оно показывает, что источником постоянного во времени электрического поля являются неподвижные электрические заряды.
Применение теоремы Гаусса
Поле непрерывно распределённых зарядов
Определим теперь с помощью теоремы Остроградского-Гаусса напряжённость поля для ряда случаев.
1. Электрическое поле равномерно заряженной сферической поверхности.
Сфера радиусом R. Пусть заряд +q равномерно распределён по сферической поверхности радиуса R. Распределение заряда по поверхности характеризуется поверхностной плотностью заряда (рис.4). Поверхностной плотностью заряда называют отношение заряда к площади поверхности, по которой он распределён. . В СИ .
Определим напряжённость поля:
а) вне сферической поверхности, б) внутри сферической поверхности.
а) Возьмём точку А, отстоящую от центра заряженной сферической поверхности на расстоянии r>R. Проведём через неё мысленно сферическую поверхность S радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферической поверхностью. Из соображения симметрии очевидно, что силовые линии являются радиальными прямыми перпендикулярными к поверхности S и равномерно пронизывают эту поверхность, т.е. напряжённость по всех точках этой поверхности постоянна по величине. Применим теорему Остроградского-Гаусса к этой сферической поверхности S радиуса r. Поэтому полный поток через сферу равен N = E? S; N=E. С другой стороны . Приравниваем: . Отсюда: при r>R.
Таким образом: напряжённость, создаваемая равномерно заряженной сферической поверхностью, вне её такая же, как если бы весь заряд находился в её центре (рис.5).
б) Найдём напряжённость поля в точках, лежащих внутри заряженной сферической поверхности. Возьмём точку В отстоящую от центра сферы на расстоянии 0 от плоскости (рис. 8).
на площадь и на косинус угла α между вектором 
и нормалью 
к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку (рис. 1.3.1): 
через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток вектора 
через замкнутую поверхность (рис. 1.3.2): 
через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε0. 
а 
следовательно 
Отсюда следует, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку 0 через поверхность вспомогательной сферы: 
точечных зарядов. Поток системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность будет складываться из потоков электрических полей отдельных зарядов. Если заряд оказался внутри поверхности , то он дает вклад в поток, равный 
если же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электрического поля в поток будет равен нулю.
и поток этого вектора Ф.
=1) и воды (
=81). В этой точке при переходе из воздуха в воду напряжённость электрического поля согласно формуле 
уменьшится в 81 раз. Если пренебречь проводимостью воды, то во столько же раз уменьшится число силовых линий. При решении различных задач на расчёт полей из-за прерывности вектора напряжённости 
на границе раздела сред и на диэлектриках создаются определённые неудобства. Чтобы избежать их, вводится новый вектор 
, который называется вектором электрической индукции: 
на электрическую постоянную 
и на диэлектрическую проницаемость среды в данной точке
.
(1).
не зависит от свойств среды. Поле вектора 
графически изображается аналогично полю напряжённости 
(например, для точечного заряда см. рис.1). Для поля вектора 
имеет место принцип суперпозиции: 
характеризует электрическое поле в каждой точке пространства. Можно ввести ещё одну величину, зависящую от значений вектора 
не в одной точке, а во всех точках поверхности, ограниченной плоским замкнутым контуром.
к плоскости проводника составляет угол 
с направлением вектора электрической индукции (рис. 2).
на площадь S и на косинус угла 
между вектором 
и нормалью 
: 
; 
. Вычислим полный поток индукции проходящий через всю поверхность этой сферы: 
; 
(
). Если возьмём сферу 
радиуса 
, то также Ф = q. Если проведём сферу 
, не охватывающую заряд q, то полный поток Ф = 0 (так как каждая линия войдёт в поверхность, а другой раз выйдет из неё).
.
. В результате интегрирования полный поток через замкнутую поверхность S в любом неоднородном электрическом поле равен: 
, где q – алгебраическая сумма всех зарядов, окружённых замкнутой поверхностью S. Выразим последнее уравнение через напряжённость электрического поля (для вакуума): 
.
(рис.4). Поверхностной плотностью заряда называют отношение заряда к площади поверхности, по которой он распределён. 
. В СИ 
.
. С другой стороны 
. Приравниваем: 
. Отсюда: 
при r>R.
0 от плоскости (рис. 8).
19.04.2009
