Выведите формулу для момента инерции обруча

Задачи для самостоятельного решения.

Найти момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину и образующей угол a со стержнем. Масса стержня m, его длина l.

Вывести формулу для вычисления момента инерции тонкого обруча относительно оси, проходящей через центр обруча перпендикулярно его плоскости.

Доказать, что для любого плоского тела Iz = Ix + Iy, где X, Y и Z – взаимно перпендикулярные оси, причем оси X и Y лежат в плоскости тела, а ось Z перпендикулярна телу. Ix, Iy и Iz – моменты инерции относительно осей X, Y и Z соответственно.

Вывести формулу для вычисления момента инерции однородного диска относительно оси, проходящей через его центр и направленной перпендикулярно плоскости диска. Масса диска m, радиус R.

Вычислить момент инерции тонкого однородного диска относительно оси, проходящей через центр диска и лежащей в его плоскости. Масса диска m = 2 кг, радиус диска R = 0,4 м.

Показать, что момент инерции двухатомной молекулы относительно оси, проходящей через центр масс молекулы перпендикулярно ее оси можно вычислять по формуле Iz = m l2,

где m = – “приведенная масса молекулы”, а l – расстояние между атомами (“длина молекулы”).

Вычислить момент инерции и момент импульса Земного шара. Воспользоваться справочными данными о параметрах Земного шара.

* Вывести формулу для вычисления момента инерции однородного сплошного конуса. Масса конуса m, радиус основания R.

* Вывести формулу для вычисления момента инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр. Масса шара m, радиус R.

Сплошной цилиндр массы m и радиуса R вращается вокруг своей оси в вязкой среде, сопротивление которой прямо пропорционально скорости вращения. Найти закон изменения угловой скорости вращения цилиндра от времени под действием только сил сопротивления. Начальная угловая скорость ω0. Через какой промежуток времени угловая скорость уменьшается в e раз (e – основание натуральных логарифмов)?

Однородный круглый диск диаметром d = 10 см и массой m = 1 кг вращается вокруг своей оси, делая ν = 100 об/мин. Постоянная сила трения, будучи приложена к ободу диска, останавливает его за время t = 1 мин. Найти величину этой силы.

На барабан массой M = 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Найти ускорение груза и силу натяжения шнура. Барабан считать однородным цилиндром. Трением на оси цилиндра пренебречь.

Для определения момента инерции махового колеса радиуса R = 0,5 м относительно оси проходящей через центр масс, колесо обмотали тонкой проволокой, к которой привязали гирю массой m = 8 кг. Продолжительность опускания гири с высоты h = 2 м при разматывании проволоки составила t = 16 с. Найти момент инерции махового колеса, пренебрегая трением.

Сплошной цилиндр m = 1 кг насажен на ось. К оси цилиндра прикреплена невесомая нить, которая перекинута через блок. К концу нити привязан груз массы M = 2 кг (см. рис.). Считая, что цилиндр катится без проскальзывания, найти: а) ускорение груза, б) величину силы трения, действующей на цилиндр. При каком значении коэффициента трения не будет происходить проскальзывания?

* Конец веревки, намотанной на сплошной цилиндр, тянут с силой F. Радиус цилиндра R, масса m. При каком значении коэффициента трения скольжения m цилиндр не будет проскальзывать?

В условиях задачи 3.4 найти силу трения между катушкой и столом.

* На горизонтальной плоскости лежит катушка, масса которой m = 50 г, а момент инерции относительно ее оси I = 5·10-6 кг × м2. На катушку намотана невесомая и нерастяжимая нить. Радиус внешнего слоя витков r = 2 см, радиус торцов катушки R = 3 см (см. рисунок к задаче 3.4). Коэффициент трения скольжения между катушкой и плоскостью m = 0,2. Как ведет себя катушка, если сила F, с которой тянут за нить, и угол a имеют следующие значения: а) F = 0,128 Н и a = 30º; б) F = 0,1 Н и a = 48,2º; в) F = 0,1 Н и a = 30º и г) F = 0,1 Н и a = 60º.

Однородный сплошной цилиндр массы m = 1 кг висит в горизонтальном положении на двух намотанных на него невесомых нитях. Цилиндр отпускают без толчка.

а) За какое время t цилиндр опустится на высоту h = 50 см? б) Какое натяжение T испытывает при опускании цилиндра каждая из нитей?

* Однородный стержень массы m горизонтально подвешен к потолку посредством двух вертикальных нитей, прикрепленных к концам стержня. Найти натяжение одной из нитей сразу же после обрыва другой.

* Гироскоп одного из авиагоризонтов характеризуется следующими данными: масса m = 5 кг; момент инерции относительно собственной оси Iz = 8·10-3 кг·м2; гироскоп вращается вокруг собственной оси с частотой n = 20000 об/мин. Определить период прецессии, вызванной тем, что центр тяжести гироскопа отстоит от точки опоры на расстояние l = 0,25 мм.

* Найти угловую скорость прецессии наклоненного волчка, прецессирующего под действием силы тяжести. Волчок имеет собственный момент инерции Iz, угловую скорость вращения w . Расстояние от точки опоры до центра тяжести волчка равно l.

* Доказать соотношение MО = MC + [R,P], где МО момент импульса системы материальных точек относительно начала О лабораторной системы отчета (Л-система); МC – момент импульса относительно центра масс С (собственный момент импульса), R – радиус-вектор центра масс в Л-системе, P – суммарный импульс системы точек, определенный в Л-системе.

Источник

7.1. Динамика вращения вокруг неподвижной оси

Движение материальной точки характеризуется перемещением, скоростью, ускорением. Но при вращении твердого тела все его элементы имеют разные перемещения, различные скорости. Удобно найти переменные, одинаковые для всех элементов твердого тела. Мы их, собственно, уже знаем — угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение. Соответственно, изучая динамику вращения, вместо импульса и силы мы будем оперировать их угловыми аналогами — моментом импульса и моментом силы.

Уравнение движения. В теме 4.8 было выведено уравнение движения системы материальных точек в виде

где моменты импульса и силы определялись как

Внутренние силы между телами системы, напомним, выпали из уравнений движения. Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему частиц (материальных точек) с неизменными расстояниями между ними. Поэтому выписанные уравнения применимы для твердого тела, а неизменность расстояний между его точками позволяет характеризовать вращение тела вокруг неподвижной оси единственной координатой — углом поворота. Поэтому мы можем упростить приведенное выше уравнение движения. Прежде всего, нас не интересуют в данный момент напряжения, возникающие в оси. Кроме того, для описания вращения достаточно рассмотреть проекции векторов моментов импульса и силы на ось вращения.

Рис. 7.1. Момент импульса L двух шаров массы m, соединенных стержнем. Вся система вращается вокруг оси z c угловой скоростью ω

Направим ось z вдоль оси вращения и выделим в твердом теле элемент массой , положение которого характеризуется радиус-вектором (рис. 7.2).

Рис. 7.2 Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси 0z

Момент импульса этого элемента есть

Рис. 7.3. Момент импульса системы направлен вдоль оси вращения.

Радиус-вектор можно представить как сумму его проекций на ось z и плоскость ху :

где вектор лежит в плоскости вращения и направлен от оси к выделенному элементу (см. рис. 7.1). Имеем:

Первое слагаемое — вектор, направленный противоположно Поэтому оно не дает вклада в z-компоненту момента импульса. Второе слагаемое — вектор, направленный вдоль оси z. Так как

Суммируя по всем элементам тела, получаем

Величина называется моментом инерции тела.

Говоря о моменте инерции, всегда указывают, относительно какой именно оси вращения он определен (в данном случае — это ось z). Момент инерции того же тела относительно какой-то другой оси примет иное значение. Сохраняется только общее правило его вычисления: берется сумма по элементам массы, составляющим тело, умноженным на квадраты расстояний этих элементов массы до оси вращения.

В случае непрерывного распределения масс с плотностью сумма заменится на интеграл по всему объему тела:

Если тело однородно, то его плотность во всех точках постоянна и можно вынести из-под знака интеграла.

Записываем теперь уравнение движения в проекции на ось z :

Если момент инерции не зависит от времени, то дифференцировать нужно только угловую скорость, в результате получаем основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела в виде

Производная угловой скорости по времени — это угловое ускорение

Видео 7.1. Основное уравнение динамики вращательного движения. Демонстрация, вытекающей из него связи между угловым ускорением, моментом силы и моментом инерции

Рассмотрим теперь момент внешних сил. Разложим силу на вектор в направлении оси z и вектор, ей ортогональный:

Используя снова аналогичное разложение радиус-вектора

получаем для момента внешних сил :

Первое слагаемое равно нулю. Два следующих содержат единичный орт — вектор k, направленный вдоль оси 0z и, следовательно, не дают вклада в проекцию . Оба вектора

лежат в плоскости xy и, следовательно, последнее слагаемое направлено параллельно оси 0z. Если — угол между этими векторами, то

где — плечо силы (см. тему. 4.8). Силу

надо здесь понимать в алгебраическом смысле: она входит со знаком минус, если сила тормозит вращение.

Момент инерции. Найдем моменты инерции для простейших (геометрически правильных) форм твердого тела, масса которого равномерно распределена по объему.

Рис. 7.4. Моменты инерции различных тел

1. Момент инерции обруча относительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через его центр.

Обруч считается бесконечно тонким, то есть толщиной обода можно пренебречь по сравнению с радиусом . Поскольку в этой системе все массы находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, можно вынести из-под знака интеграла:

где — полная масса обруча.

2. Момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр.

Диск считается бесконечно тонким, если его толщина много меньше радиуса . Момент инерции, согласно определению, величина аддитивная: момент инерции целого тела равен сумме моментов инерции его частей. Разобьем диск на бесконечно тонкие обручи радиусом и шириной (рис. 7.5).

Рис. 7.5 Вычисление момента инерции диска относительно оси z, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр

Площадь поверхности обруча равна произведению его длины окружности на ширину: . Поскольку масса m диска распределена равномерно, масса единицы площади равна , так что масса обруча равна

Момент инерции обруча мы уже знаем:

Осталось просуммировать моменты инерции всех таких обручей:

Такой же результат получится и для момента инерции цилиндра конечной длины относительно его продольной оси.

3. Момент инерции шара относительно его диаметра.

Поступим аналогичным образом: «нарежем» шар на бесконечно тонкие диски толщиной , находящиеся на расстоянии z от центра (рис. 7.6).

Рис. 7.6. Момент инерции шара относительно его диаметра

Радиус такого диска

Объем диска равен его площади, умноженной на толщину:

Массу диска находим, разделив массу шара на его объем и умножив на объем диска:

Момент инерции диска был найден выше. В применении к данному случаю он равен

Момент инерции шара находится интегрированием по всем таким дискам:

4. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню.

Пусть стержень имеет длину . Направим ось x вдоль стержня. Начало координат по условию находится в центре стержня (рис. 7.7).

Рис. 7.7. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню

Возьмем элемент стержня длиной , находящийся на расстоянии x от оси вращения. Его масса равна

а момент инерции

Отсюда находим момент инерции стержня:

Теорема Штейнера. В приведенных примерах оси проходят через центр масс (центр инерции) тела. Момент инерции относительно других осей вращения определяется в соответствии с теоремой Штейнера:

Рис. 7.8. К выводу теоремы Штейнера

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J_C относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции тела, и величины ma 2 — произведения массы тела на квадрат расстояния от центра инерции тела до выбранной оси, то есть

Продемонстрируем сначала применение теоремы Штейнера. Вычислим момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его край перпендикулярно стержню. Прямое вычисление сводится к тому же интегралу, возникшему при вычислении момента инерции стержня относительно оси, проходящей через его середину, но взятому в других пределах:

Расстояние до оси, проходящей через центр масс, равно a = l/2. По теореме Штейнера получаем тот же результат:

Вывод теоремы Штейнера иллюстрируется рис. 7.8, 7.9

Рис. 7.9. К выводу теоремы Штейнера

Пусть одна ось проходит в направлении единичного вектора n через центр масс С твердого тела (системы тел), а другая — параллельно ей через некоторую точку 0. Из центра масс в направлении второй оси проводим ортогональный осям вектор a, который определяет положение точки 0. Радиус-векторы некоторого элемента системы массой относительно точек С и 0 обозначаем и , соответственно. Момент инерции этого элемента относительно оси С есть

где — расстояние элемента от оси. По теореме Пифагора (см. рис. 7.9).

Катет равен проекции векторов и на ось вращения, то есть

Используя эти выражения и суммируя по всем элементам системы, находим момент инерции относительно оси, проходящей через точку С, и, аналогичным образом, момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через точку 0 :

Здесь выражение для получено из простой заменой на .

Как видно из рис. 7.9, векторы и связаны между собой:

так как векторы n и а ортогональны и их скалярное произведение

Тогда мы можем преобразовать выражение для :

Первое слагаемое в правой части — момент инерции относительно оси, проходящей через точку C. Третье слагаемое равно , где

— полная масса системы.

Второе слагаемое равно нулю, так как оно пропорционально радиус-вектору центра инерции относительно самого центра инерции. Окончательно:

что и требовалось доказать.

Теорема Штейнера связывает моменты инерции относительно параллельных осей. Иногда оказывается полезной другая теорема, связывающая моменты инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей. Однако эта теорема относится только к плоским фигурам, толщиной которых можно пренебречь по сравнению с размерами в двух других направлениях. Итак, теорема о моментах инерции плоских фигур:

Если через произвольную точку 0 плоской фигуры приведена ортогональная к фигуре ось, то момент инерции относительно этой оси равен сумме моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости фигуры и проходящих через эту же точку 0.

Иными словами, берем на фигуре произвольную точку 0 и проводим координатные оси так, чтобы 0x и 0y лежали в плоскости фигуры. Тогда, согласно теореме, момент инерции относительно оси 0z равен сумме моментов инерции относительно осей 0x и 0y:

При этом расположение осей 0x, 0y может быть произвольным; главное, чтобы они лежали в плоскости фигуры (рис. 7.10).

Рис. 7.10. Моменты инерции плоской фигуры относительно взаимно перпендикулярных осей

Из рисунка видно, что

что и требовалось доказать.

Найдем, например, момент инерции диска относительно его диаметра. Два ортогональных диаметра диска равноправны, поэтому

Согласно теореме о плоской фигуре

Теперь можно применить теорему Штейнера, чтобы найти, например, момент инерции относительно оси , параллельной диаметру и проходящей через край диска (см. рис. 7.10):

Источник