- 1. Расскажите о центральной и осевой симметрии. 2. Выведите формулу косинуса угла между ненулевыми векторами с заданными координатами. 3. Даны векторы , и Вычислите скалярное произведение
- Нахождение угла между векторами
- Нахождение угла между векторами
- Формула угла между векторами
- Угол между двумя векторами
- Вычисление угла между двумя векторами.
- Косинус угла между векторами
- Формула
- Примеры решений
- Выведите формулы косинуса угла между ненулевыми векторами
1. Расскажите о центральной и осевой симметрии.
2. Выведите формулу косинуса угла между ненулевыми векторами с заданными координатами.
3. Даны векторы , и Вычислите скалярное произведение
tg A = sin A/ cos A
Применим основное тригонометрическое тождество:
601,а) Находим радиус R основания.
R = a/(2sin(α/2)).
So = πR² = (πa²)/(4sin²(α/2).
Высота Н цилиндра равна: Н = S/a.
Sбок = 2πRH = (2πaS)/(2sin(α/2)*a) = (πS)/( sin(α/2)).
Площадь S поверхности цилиндра равна:
S = 2So+ Sбок = (2πa²)/(4sin²(α/2))+(πS)/( sin(α/2)).
В первой дроби можно сократить на 2:
S = ( πa²)/(2sin²(α/2))+(πS)/( sin(α/2)).
587,a) Угол при вершине конуса его осью делится пополам, тогда радиус R основания равен:
R = λ*sin 30° = λ/2.
Площадь So основания равна:
So = πR² = πλ²/4.
Площадь Sбок боковой поверхности конуса равна:
Sбок = πRλ = πλ²/2.
Площадь S поверхности конуса равна:
S = So+ Sбок = πλ²/4 + πλ²/2 = 3πλ ²/4.
595,а) Расстояние от плоскости сечения до оси равно √(R²-(a²/4)).
Высота h сегмента равна: h = R- √(R²-(a²/4)).
Поверхность S меньшего сферического сегмента равна:
S = 2 πRh = 2πR(R- √(R²-(a²/4))).
601,б) Хорда а основания равна: а = 2Rsin( α/2).
Площадь S сечения равна: S = aH = 2RHsin( α/2).
Значение RH найдём из площади боковой поверхности цилиндра:
Sбок = 2πRH, отсюда RH = Q/ 2π.
Тогда S = (2sin(α/2)Q)/(2π) или, сократив на 2, имеем:
S = (sin( α/2)Q)/π.
Источник
Нахождение угла между векторами
Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.
Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →
Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .
Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^
Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.
a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.
Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.
Нахождение угла между векторами
Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.
Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .
Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:
cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →
Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.
Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.
Решение
Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,
Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4
Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4
Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.
Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:
cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2
Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.
Решение
- Для решения задачи можем сразу применить формулу:
cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70
- Также можно определить угол по формуле:
cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,
но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70
Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70
Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.
Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .
Решение
Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )
Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13
Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13
Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:
A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,
b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^
и отсюда выведем формулу косинуса угла:
cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →
Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.
Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:
Источник
Формула угла между векторами
Угол между двумя векторами
Рассмотрим понятие угла между двумя направлениями в пространстве.
Как и на плоскости, в пространстве направлением называется множество всех лучей, каждый из которых сонаправлен с данным. Таким образом, любой луч из данного множества сонаправленных лучей вполне определяет это направление (подобно тому, как любой направленный отрезок вполне определяет вектор, который он изображает). Поэтому направление в пространстве обычно задают при помощи только одного луча.
Углом между двумя направлениями называется величина наименьшего угла между любыми лучами этих направлений с общим началом.
Угол между лучами l1 и l2 обозначается \(\widehat
Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между направлениями этих векторов. Угол между векторами а и b (рис. 21) обозначается \(\widehat
Если угол между векторами а и b равен 90°, то эти векторы называют перпендикулярными (или ортогональными) и пишут: а ⊥ b.
Рассмотрим некоторую прямую l, на которой выбрана единица измерения длины. Пусть А и В — некоторые точки прямой l такие, что |АВ| = 1.
Тогда векторы \(\overrightarrow
Единичные векторы прямой задают на ней два направления. Одно из них называется положительным, другое — отрицательным.
Прямая, на которой выбрана точка О (начало отсчета), задано положительное направление и задана единица измерения длины, называется осью. Вектор е (|е| = 1), задающий направление оси, называется единичным вектором оси (рис. 23).
Углом между вектором и осью, называется величина угла между направлением оси и направлением вектора (рис. 24).
Вычисление угла между двумя векторами.
По определению скалярного произведения
т. е. косинус угла между ненулевыми векторами а и b равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин.
$$ a\cdot b = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2, \\ |a|=\sqrt<
и поэтому, используя равенство (1), получим формулу
Эта формула позволяет вычислить косинус угла между векторами а и b по координатам этих векторов.
Если векторы а = (x1 ; y1 ) и b = (x2 ; y2) заданы в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости, то косинус угла между ними вычисляется по формуле
Задача 1. Даны два вектора а = (3; 4) и b = (4; 3). Найти угол между ними.
Подставив координаты векторов в формулу (3), получим
откуда (по таблице) \(\widehat<(a; b)>\) ≈ 16°.
Задача 2. Найти косинус угла между векторами
Источник
Косинус угла между векторами
Формула
Чтобы найти косинус угла между векторами нужно найти отношение скалярного произведения векторов и произведение их длин (модулей). Если векторы заданы на плоскости двумя координатами $ \overline=(x_1;y_1) $ и $ \overline=(x_2;y_2) $, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:
В числителе находится скалярное произведение векторов, то есть каждая координата умножается на соответствующую координату другого вектора и при этом находится сумма всех произведений. А в знаменателе расположено произведение модулей векторов. Каждый модуль равен извлеченному квадратному корню из суммы квадратов координат вектора.
Примеры решений
| Пример |
| Даны два вектора $ \overline =(3;1) $ и $ \overline = (2;4) $. Требуется найти косинус угла между векторами. |
| Решение |
..
