Вывести формулу деления комплексных чисел

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел можно производить в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Для каждой из них существует своя формула.

Формула

Чтобы разделить в алгебраической форме нужно числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное к знаменателю. Тем самым избавляемся от комплексности в знаменателе:

В этой форме необходимо разделить модули комплексных чисел и найти разность аргументов:

$$ \frac = \frac (\cos (\varphi_1 — \varphi_2) + i\sin (\varphi_1 — \varphi_2)) $$

В данной форме делятся модули и в экспоненте вычисляется разность аргументов:

Примеры решений

Так как числа заданы в алгебраической форме, то и нужно применить соответствующую формулу.

Сопряженным комплексным числом к знаменателю будет $ \overline = 2+3i $. Домножим и разделим на него дробь, чтобы избавиться от комплексности в знаменателе:

Приводим подобные слагаемые:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Так как требуется выполнить деление комплексных чисел в тригонометрической форме, то пользуемся соответствующей формулой. В ней нужно найти деление модулей и разность аргументов.

$$ \varphi_1 — \varphi_2 = \frac<\pi> <3>— \frac<\pi> <6>= \frac<\pi> <6>$$

Выполняем деление чисел:

По формуле деления в показательной форме находим разность аргументов и частное модулей:

Источник

Правила деления комплексных чисел

Деление комплексных чисел — основные правила

Частным двух комплексных чисел \(z_<1>=a_<1>+b_ <1>i\) и \(z_<2>=a_<2>+b_ <2>\) i называют число z, заданное соотношением: \(z=\frac>>=\frac a_<2>+b_ <1>b_<2>>^<2>+b_<2>^<2>>+\frac b_<1>-a_ <1>b_<2>>^<2>+b_<2>^<2>> i\)

Общий алгоритм для деления комплексных чисел на практике:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

• умножение делимого и делителя на число, комплексно сопряженное делителю, что преобразует делитель в действительное число;
• в числителе умножают пару комплексных чисел;
• полученную дробь почленно делят.

В каких формах это можно делать

Комплексные числа делят разными методами, подтвержденными доказательствами. Существуют алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы для подобных операций. В каждом перечисленном случае необходимо использовать определенную формулу.

Формула деления в алгебраической форме

Когда требуется выполнить деление комплексных чисел в алгебраической форме, в первую очередь числитель и знаменатель умножают на число, сопряженное к знаменателю. Таким образом, удается исключить комплексность в знаменателе:

Формула деления в тригонометрической форме

Деление в тригонометрической форме подразумевает деление модулей комплексных чисел. После выполнения данной операции определяют разность аргументов:

\(\frac = \frac (\cos (\varphi_1 — \varphi_2) + i\sin (\varphi_1 — \varphi_2))\)

Формула деления в показательной форме

Показательная форма деления комплексных чисел в тригонометрии предполагает деление модулей и вычисление разности аргументов в экспоненте:

Примеры решения задач

Необходимо найти частное пары комплексных чисел:

\(z_1 = 3+i\) и \(z_2 = 2-3i\)

Заметим, что комплексные числа заданы в алгебраической форме. В связи с этим целесообразно использовать в действиях соответствующую формулу.

Сопряженное комплексное число к знаменателю:

Нужно домножить и разделить на сопряженное комплексное число к знаменателю дроби. Таким образом, получится исключить комплексность в знаменателе:

Далее следует привести подобные слагаемые и записать вывод с ответом:

Требуется выполнить деление комплексных чисел:

Комплексные числа в условии задачи записаны в тригонометрической форме. По этой причине необходимо использовать в расчетах соответствующую формулу. В данном случае следует определить деление модулей и разность аргументов:

\(\varphi_1 — \varphi_2 = \frac<\pi> <3>— \frac<\pi> <6>= \frac<\pi><6>\)

Следующим шагом является деление чисел:

Нужно найти частное комплексных чисел:

Решение: Согласно формуле деления в показательной форме определяем разность аргументов и частное модулей:

\(\varphi_1 — \varphi_2 = \frac<\pi> <2>— \frac<\pi> <4>= \frac<\pi><4>\)

При подстановке в формулу полученных значений уравнение будет преобразовано следующим образом:

В первую очередь следует домножить числитель и знаменатель заданной дроби на число, комплексно сопряженное к знаменателю:

Данным числом является:

Затем следует перемножить комплексные числа, как алгебраические двучлены, с учетом:

Необходимо найти частное:

При условии, что:

\(=2 \cdot\left[\cos \frac<\pi><2>+i \sin \frac<\pi><2>\right]=2 \cdot(0+i)=2 i\)

Необходимо разделить два комплексных числа:

С помощью соответствующей формулы можно записать уравнение:

Ответ: \( z_ <1>\div z_ <2>= 1+i\)

Необходимо вычислить частное комплексных чисел:

\(z_<1>=\sqrt <2>\left( \cos \frac<\pi> <2>+ i \sin \frac<\pi> <2>\right)\)

\(z_<2>=\sqrt <2>\left( \cos \frac<\pi> <4>+ i \sin \frac<\pi> <4>\right)\)

Используя соответствующую формулу, запишем:

\(z_ <1>\div z_ <2>= \frac>> (\cos ( \varphi _ <1>— \varphi _<2>) + i \sin ( \varphi _ <1>— \varphi _<2>)) = \frac<\sqrt<2>><\sqrt<2>> \left( \cos \left( \frac<\pi><2>-\frac<\pi> <4>\right) + i \sin \left( \frac<\pi><2>-\frac<\pi> <4>\right) \right) =\)

\(= 1 \cdot \left( \cos \frac<\pi> <4>+ i \sin \frac<\pi> <4>\right) = \cos \frac<\pi> <4>+ i \sin \frac<\pi><4>\)

Ответ: \( z_ <1>\div z_ <2>= \cos \frac<\pi> <4>+ i \sin \frac<\pi><4>\)

Требуется разделить два комплексных числа:

Используя соответствующую формулу деления комплексных чисел, можно решить уравнение:

Источник

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел в алгебраической форме

Частным двух комплексных чисел $z_<1>=a_<1>+b_ <1>i$ и $z_<2>=a_<2>+b_ <2>i$ называется число $z$, которое задается соотношением:

На практике деление комплексных чисел проводят по следующей схеме:

1. сначала делимое и делитель умножают на число, комплексно сопряженное делителю, после чего делитель становится действительным числом;
2. в числителе умножают два комплексных числа;
3. полученную дробь почленно делят.

Задание. Найти частное $\frac<-2+i><1-i>$

Решение. Домножим и числитель, и знаменатель заданной дроби на число, комплексно сопряженное к знаменателю $1-i$, это будет $1+i$, тогда имеем:

Далее перемножаем комплексные числа как алгебраические двучлены, учитывая, что $i^<2>=-1$:

Деление комплексных чисел в геометрической форме

Если надо поделить комплексные числа $z_<1>$ и $z_<2>$ в геометрической форме: $\frac>>=\frac<\left|z_<1>\right|\left(\cos \phi_<1>+i \sin \phi_<1>\right)><\left|z_<2>\right|\left(\cos \phi_<2>+i \sin \phi_<2>\right)>$ , то искомое число

То есть модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент — разности аргументов делимого и делителя.

Деление комплексных чисел не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Задание. Найти частное $\frac>>$, если $z_<1>=2 \cdot\left(\cos \frac<3 \pi><4>+i \sin \frac<3 \pi><4>\right)$, а $z_<2>=\cos \frac<\pi><4>+i \sin \frac<\pi><4>$

Решение. Искомое частное

$=2 \cdot\left[\cos \frac<\pi><2>+i \sin \frac<\pi><2>\right]=2 \cdot(0+i)=2 i$

Ответ. $\frac>>=2 \cdot\left(\cos \frac<\pi><2>+i \sin \frac<\pi><2>\right)=2 i$

Источник

Деление комплексных чисел

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти частное двух комплексных чисел, представленных в алгебраической или тригонометрической форме. Также приведены примеры для лучшего понимания теоретического материала.

Деление в алгебраической форме

Результатом деления (т.е. частное) двух комплексных чисел и также является комплексное число z :

Порядок действий следующий:

Делимое и делитель умножаем на число, комплексно сопряженное делителю. Не забываем, что .

Примечание: Для комплексно сопряженным будет число , т.е. действительная часть остается той же, а у мнимой знак меняется на противоположный.

Пример 1:
Разделим комплексное число на .

Решение:
Руководствуемся планом действий, описанным выше, и получаем:

Деление в геометрической форме

Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме, например, и , то разделить их можно по формуле ниже:

Пример 2
Найдем частное комплексных чисел: и .

Источник

Комплексные числа

В математике кроме натуральных, рациональных и вещественных чисел имеется ещё один вид, называемый комплексными числами. Такое множество принято обозначать символом $ \mathbb $.

Рассмотрим, что из себя представляет комплексное число. Запишем его таким образом: $ z = a + ib $, в котором мнимая единица $ i = \sqrt <-1>$, числа $ a,b \in \mathbb $ вещественные.

Если положить $ b = 0 $, то комплексное число превращается в вещественное. Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества $ \mathbb \subset \mathbb $. К слову говоря также возможно, что $ a = 0 $.

Принято записывать мнимую часть комплексного числа как $ Im(z) = b $, а действительную $ Re(z) = a $.

Введем понятие комплексно-сопряженных чисел. К каждому комплексному числу $ z = a+ib $ существует такое, что $ \overline = a-ib $, которое и называется сопряженным. Такие числа отличаются друг от друга только знаками между действительной и мнимой частью.

Формы

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

1. Алгебраическая $ z = a+ib $
2. Показательная $ z = |z|e^ $
3. Тригонометрическая $ z = |z|\cdot(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)) $

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изображение

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

Видим, что $ a,b \in \mathbb $ расположены на соответствующих осях плоскости.

Комплексное число $ z = a+ib $ представляется в виде вектора $ \overline $.

Аргумент обозначается $ \varphi $.

Модуль $ |z| $ равняется длине вектора $ \overline $ и находится по формуле $ |z| = \sqrt $

Аргумент комплексного числа $ \varphi $ нужно находить по различным формулам в зависимости от полуплоскости, в которой лежит само число.

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$

Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:

$$ z_1 + z_2 = (3+i) + (5-2i) = (3+5)+(i-2i) = 8 — i $$

Аналогично выполним вычитание чисел:

$$ z_1 — z_2 = (3+i) — (5-2i) = (3-5)+(i+2i) = -2 + 3i $$

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$

$$ z_1 \cdot z_2 = (3+i) \cdot (5-2i) = $$

Просто на просто раскроем скобки и произведем приведение подобных слагаемых, так же учтем, что $ i^2 = -1 $:

$$ = 15 — 6i + 5i -2i^2 = 15 — i — 2\cdot(-1) = $$

$$ = 15 — i + 2 = 17 — i $$

Так, теперь разделим первое число на второе:

Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:

Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:

Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:

$$ z^2 = (3+3i)^2 = (3+3i)\cdot (3+3i) = $$

Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:

$$ =9 + 9i + 3i\cdot 3 + 9i^2 = 9 + 18i — 9 = 18i $$

Получили ответ, что $$ z^2 = (3+i)^2 = 18i $$

В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.

Вычисляем значение модуля:

Найдем чем равен аргумент:

$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$

Записываем в тригонометрическом виде:

Возводим в степень $ n = 7 $:

Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:

$$ = 3^7 \sqrt<2>^6 (1-i) = 3^7 \cdot 8(1-i) = $$

$$ = 2187 \cdot 8 (1-i) = 17496(1-i) $$

$$ z^2 = (3+i)^2 = 18i $$ $$ z^7 = 17496(1-i) $$

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

$$ \varphi = arctg \frac<0> <-1>+\pi = arctg 0 + \pi = \pi $$

Получаем: $$ z = (\cos \pi + i\sin \pi) $$

Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

Так как степень $ n = 3 $, то по формуле $ k = 0,1,2 $:

Решать будем по общей формуле, которую все выучили в 8 классе. Находим дискриминант $$ D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4\cdot 1 \cdot 2 = 4-8 = -4 $$

Источник

Вам также может понравиться

Как вывести цемент с ткани

Как отстирать от одежды цемент, удалить затвердевший

Можно ли стирать кожзам куртку вручную

Как в домашних условиях постирать куртку из кожзама

Что отмоет черные полосы с линолеума

Все секреты чистки линолеума Казалось бы, линолеум

Что отмоет черную краску для волос с рук

Секреты и советы, как и чем смыть краску для волос

Что будет если не чистить кондиционер после зимы

Что будет если не чистить кондиционер после зимы При

Чем можно отмыть пожелтевший пластик

Доступные и недорогие способы, как убрать желтизну

Чем можно отмыть мотор машины

Чем отмыть двигатель от масла и грязи в домашних условиях

Чем можно отмыть клейкую ленту с пластиковых окон

Средства для удаления следов скотча на пластиковом