Вывести множитель за знак радикала

Внесение множителя под знак корня: правила, примеры, решения

В этой статье мы продолжим говорить о том, как преобразовывать иррациональные выражения, а конкретно о том, как внести множитель под знак корня. Сначала поясним, в чем состоит смысл такого преобразования, приведем теоретические обоснования и сформулируем основные правила, после чего проиллюстрируем их на примерах решений задач.

Понятие внесения множителя под знак корня

Начнем с определения этого преобразования.

Внесение множителя под знак корня представляет собой преобразование произведения B · C n , где B и C являются числами или выражениями, а n – натуральным числом, в тождественно равное выражение B n · C n или — B n · C n .

Первое знакомство с этим видом преобразования, как правило, происходит сразу после изучения понятия квадратного корня и его свойств в рамках школьного курса алгебры. При этом определение берется только для n , равного 2 , то есть для выражений с квадратным корнем. Позже, когда начинают изучаться корни n -ной степени, разбираются и случаи с более сложными выражениями.

Учитывая все сказанное выше, легко понять, почему данное преобразование называется именно так: в его результате множитель B перемещается под знак корня. Также очевидно, что изменить таким образом можно не любые выражения, а только конкретные произведения некоторых чисел (выражений) и корней, под знаками которых также расположено некоторое число или выражение. В качестве примера можно привести 5 · 3 , — 0 , 7 · x + 2 · y 3 , x — 2 · 1 — x 4 и т.д.

В результате мы должны прийти к выражению вполне определенного вида. Так, указанные выше примеры после преобразования будут выглядеть так: 5 2 · 3 , — 0 , 7 3 · x + 2 · y 3 , — x — 2 4 · 1 — x 4 . Возможно и дальнейшее упрощение этих выражений, если такая необходимость есть.

После того, как мы определились, что из себя представляет внесение множителя под знак корня, можно перейти к теоретическим обоснованиям преобразования. В следующем пункте мы объясним, когда — B n · C n следует заменять на B n · C n , а когда B n · C n на — B n · C n .

Теоретические основы внесения множителя под корень

Ранее, когда мы объясняли, как можно изменить иррациональные выражения, применяя основные свойства корня, у нас получился ряд важных результатов. Здесь нам потребуются два из них:

1. Выражение A можно заменить на A n n в случае нечетного n . Если же n является четным числом, то возможна замена на A n n для всех значений переменных, которые принадлежат области допустимых значений для данного выражения и при которых A не будет отрицательным (это условие можно записать как A ≥ 0 ). То есть если n – нечетное число, то A = A n n , A ≥ 0 , — A n n , A 0 .
2. Выражение A n · B n заменяется на A · B n при условии, что n – натуральное число.

Воспользовавшись этими правилами, мы можем внести множитель под знак радикала (корня) после следующих преобразований:

• при нечетном n – B · C n = B n n · C n = B n · C n
• при четном n – B · C n = B n n · C n = B n · C n , B ≥ 0 , — B n n · C n = — B n · C n , B 0

Допустим, B представляет из себя число, большее 0 , либо выражение, которое будет неотрицательным при любых значениях переменных из области допустимых значений. Тогда B · C n = B n n · C n = B n · C n . А если B будет отрицательным числом или его значения не будут положительны при любых переменных, то B · C n = — B n n · C n = — B n · C n .

В следующем пункте мы сформулируем эти положения в виде правил, которые будем в дальнейшем применять для решения задач.

Основные правила внесения множителя под знак радикала

Выше мы уже рассказывали, что действия, которые нужно предпринять для внесения множителя под корень, будут зависеть от значения показателя n, точнее от того, четный он или нечетный, а также от вида самого выражения. Запишем несколько правил для всех возможных случаев.

Если показателем корня является нечетное число, то необходимые преобразования будут выглядеть следующим образом: B · C n = B n n · C n = B n · C n .

Если показателем корня является четное число, а B является некоторым выражением с неотрицательным значением ( x 2 , 5 · x 4 + 3 · y 2 · z 2 + 7 и др.) или же просто положительным числом, то нам нужно действовать так: B · C n = B n n · C n = B n · C n .

Если показателем корня будет четное число, но B при этом будет числом, меньшим 0 , или выражением с неположительными значениями (к примеру, − 2 · x 2 , − ( x 2 + y 2 + 1 ) и т.п.), то вносить множитель под корень нужно так: B · C n = — B n n · C n = — B n · C n .

Если показатель корня четный, однако по выражению B невозможно сразу сказать, какие значения оно примет на области допустимых значений, нам нужно:

• решить неравенства B ≥ 0 и B 0 на области допустимых значений исходного выражения;
• получив некоторые множества решений, выполнить на первом из них преобразование B · C n = B n n · C n = B n · C n , а на втором B · C n = — B n n · C n = — B n · C n .

Теперь посмотрим, как правильно применять эти положения на практике.

Решения задач на внесение множителя под корень

Для начала рассмотрим наиболее простой случай с нечетным показателем корня.

Условие: преобразуйте выражения 2 · 3 5 , — 0 , 25 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 и x — 1 · x + 1 x — 1 6 7 , внеся множитель под знак корня.

Решение

Во всех трех выражениях корни имеют нечетные показатели. Тогда мы можем представить вносимые множители в виде корней и перейти от произведения корней к корню произведения. Подсчитаем каждый пример отдельно.

1. 2 · 3 5 = 2 5 5 · 3 5 = 2 5 · 3 5 . Результат можно еще упростить, выполнив нужные действия под корнем: 2 5 · 3 5 = 32 · 3 5 = 96 5 .
2. Здесь сначала нужно преобразовать десятичную дробь в обыкновенную, чтобы упростить дальнейшие вычисления. После этого вносим множитель под знак корня и получаем: — 0 , 25 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = = — 1 4 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = = — 1 4 3 3 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = = — 1 4 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = = 6 · x · y — 1 3 · y 2 3 = 6 · x · y — 2 · y 2 3
3. Здесь выполняем преобразования сразу:

x — 1 · x + 1 x — 1 6 7 = ( x — 1 ) 7 7 · x + 1 ( x — 1 ) 6 7 = = ( x — 1 ) 7 · x + 1 x — 1 6 7

Полученному выражению можно придать еще более простой вид, преобразовав рациональное выражение под корнем, которое получилось после внесения множителя. Сделаем это:

x — 1 7 · x + 1 x — 1 6 7 = x — 1 7 · x + 1 ( x — 1 ) 6 7 = = ( x — 1 ) · x + 1 7 = x 2 — 1 7

Ответ: 2 · 3 5 = 96 5 , — 0 , 25 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = 6 · x · y — 2 · y 2 3 , x — 1 · x + 1 x — 1 6 7 = x 2 — 1 7

Далее переходим к задачам, в которых нужно преобразовать корень с четным показателем.

Условие: внесите множитель под знак радикала в выражениях 5 · 3 , 1 2 · 16 · q 4 — q 4 и x 2 + 1 · 1 x · ( x 2 + 1 ) , а потом по возможности упростите выражения.

Решение

Первое выражение мы уже приводили в качестве примера в первом пункте. Проверим получившийся результат 5 2 · 3 . Поскольку здесь у нас квадратный корень, а множитель перед ним является положительным числом, то нам нужно выполнить следующие действия: 5 · 3 = 5 2 · 3 = 5 2 · 3 . Все, что нам осталось, – это упростить полученный результат: 5 2 · 3 = 75 .

Во втором случае показатель корня является четным числом, а вносимое число больше 0 , значит, сразу переходим к преобразованиям:

1 2 · 16 · q 4 — q 4 = 1 2 4 4 · 16 · q 4 — q 4 = = 1 2 4 · 16 · q 4 — q 4 = q 4 — q 4 = 0

В третьем случае очевидно, что x 2 + 1 будет принимать значения больше 0 при любых значениях переменной x (поскольку при сложении неотрицательной при любом значении переменной выражения x 2 и единицы мы получим положительное число), значит:

x 2 + 1 · 1 x · x 2 + 1 = x 2 + 1 2 · 1 x · x 2 + 1 = = x 2 + 1 2 · 1 x · x 2 + 1 = ( x 2 + 1 ) 2 x · x 2 + 1 = x 2 + 1 x

Ответ: 5 · 3 = 75 , 1 2 · 16 · q 4 — q 4 = 0 , x 2 + 1 · 1 x · x 2 + 1 = x 2 + 1 x .

Условие: преобразуйте выражения — 10 2 · ( 0 , 1 ) 7 · a 4 и 2 · — 3 — y 2 · x , внеся множитель под знак корня.

Решение

Первое выражение имеет четный показатель корня и отрицательный множитель, который надо внести. Значит, для решения нам надо использовать третье правило, сформулированное в предыдущем пункте:

— 10 2 · 0 , 1 7 · a 4 = — 10 2 4 4 · 0 , 1 7 · a 4 = = — 10 2 4 · 0 , 1 7 · a 4 = — 10 8 · 0 , 1 7 · a 4 = — 10 · a 4

Во втором выражении показатель корня тоже является четным числом. Выражение 2 · ( − 3 − y 2 ) будет отрицательно при любом y , поскольку произведение положительного и отрицательного числа есть число также отрицательное. Значит, можно записать следующее:

2 · — 3 — y 2 · x = — 2 · — 3 — y 2 2 · x = = — 2 · — 3 — y 2 2 · x = — 2 2 · — 3 — y 2 2 · x = = — 4 · y 4 + 6 · y 2 + 9 · x = — 4 · x · y 4 + 24 · x · y 2 + 36 · x

Ответ: — 10 2 · 0 , 1 7 · a 4 = — 10 · a 4 , 2 · — 3 — y 2 · x = — 4 · x · y 4 + 24 · x · y 2 + 36 · x .

Еще один случай, который нам надо разобрать, – работа с четным показателем корня и переменными, способными принимать произвольные значения. Вообще такие преобразования лежат за пределами школьного курса алгебры, поскольку они относятся к задачам повышенной сложности, однако мы все же решим одну такую задачу.

Условие: даны выражения x — 2 · 1 — x 4 и x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 . Выполните внесение множителя под знак корня.

Решение

Первое выражение мы уже приводили в качестве примера в первом пункте. Проверим получившийся результат и поясним ход преобразования. Поскольку в x — 2 · 1 — x 4 есть четный показатель корня ( 4 ) , а выражение x − 2 может принять разные значения (больше 0 , меньше 0 , равные 0 ), то нам придется использовать последнее правило из предыдущего пункта. Область допустимых значений x будет определена условием 1 − x ≥ 0 . Как мы узнаем, когда переменная примет положительное, а когда отрицательное значение? Для этого нам надо составить и решить две системы неравенств: x — 2 ≥ 0 1 — x ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 x ≤ 1 ⇔ ∅ и x — 2 0 1 — x ≥ 0 ⇔ x 2 x ≥ 1 ⇔ x ≤ 1 .

Решений у первой системы нет. Значит, наше выражение x − 2 не может быть положительным ни при каких значениях переменной. А вот вторая система имеет решение в виде множества x ≤ 1 , совпадающее с областью допустимых значений. Поэтому можно записать следующее:

x — 2 · 1 — x 4 = — x — 2 4 4 · 1 — x 4 = = — ( x — 2 ) 4 · 1 — x 4

Во втором выражении x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 имеется четный показатель корня, а выражение x + 6 x — 4 на первый взгляд может принимать любые значения. Выясним, когда они будут положительными, а когда отрицательными. Как и в примере выше, составим и решим две системы неравенств: x + 6 x — 4 ≥ 0 x 2 + x — 2 ≥ 0 и x + 6 x — 4 0 x 2 + x — 2 ≥ 0 .

Первую систему можно решить, используя метод интервалов, а вторую – любым способом решения квадратных неравенств.

x + 6 x — 4 ≥ 0 x 2 + x — 2 ≥ 0 ⇔ ( — ∞ , — 6 ] ∪ [ 4 , + ∞ ) ( — ∞ , — 2 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) ⇔ ⇔ ( — ∞ , — 6 ] ∪ [ 4 , + ∞ ) x + 6 x — 4 0 x 2 + x — 2 ≥ 0 ⇔ ( — 6 , 4 ) ( — ∞ , — 2 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) ⇔ ⇔ ( — 6 , — 2 ] ∪ [ 1 , 4 )

Следовательно, значение выражения x + 6 x — 4 будет неотрицательным при x ∈ ( − ∞ , − 6 ] ∪ [ 4 , + ∞ ) , и x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 = x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2 = = x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2

А отрицательным значение будет при x ∈ ( − 6 , − 2 ] ∪ [ 1 , 4 ) , и x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 = — x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2 = = — x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2

Выражение, которое получилось в итоге, может быть приведено к виду рациональной дроби.

Ответ: x — 2 · 1 — x 4 = — ( x — 2 ) 4 · 1 — x 4 и

x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 = = x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2 , x ∈ ( — ∞ , — 6 ] ∪ [ 4 , + ∞ ) — x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2 , x ∈ ( — 6 , — 2 ] ∪ [ 1 , 4 )

В заключении отметим, что вносить число под знак корня часто требуется в случаях, когда нужно сравнить значения выражений с корнями. Также советуем вам прочесть материал, посвященный противоположному преобразованию – вынесению множителя из-под корня.

Источник

Как вынести множитель из-под знака корня: теория, примеры, решения

В данном материале мы продолжим рассказывать о том, как преобразовывать рациональные выражения, а конкретно о том, как правильно выносить множитель из-под знака корня. В первом пункте объясним, зачем нужно такое преобразование, далее покажем, как именно оно делается и сформулируем общее для всех случаев правило. Далее покажем, какие существуют методы, чтобы привести подкоренное выражение к удобному для преобразования виду, и разберем примеры решений задач.

Что такое вынесение множителя из-под знака корня

Чтобы лучше понять суть подобного преобразования, нужно сначала сформулировать, что такое вообще вынесение множителя из-под знака корня. Сформулируем определение:

Вынесение множителя из-под знака корня представляет собой замену выражения B n · C n на произведение B · C n с условием, что n – нечетное число, или же на произведение B · C – где n – четное число, а B и C – другие числа и выражения.

Если мы имеем в виду только квадратный корень, то есть число n равно двум, то процесс вынесения множителя можно свести к замене выражения B 2 · C на произведение B · C . Отсюда и название данного преобразования: после того, как оно было проведено, множитель B y оказывается свободным от знака корня.

Приведем примеры, поясняющие данное определение. Так, допустим, у нас есть выражение 2 2 · 3 . Оно аналогично B 2 · C , где B равно двум, а C – трем. Заменив данный корень на произведение 2 · 3 и опустив знаки модулей (это можно сделать, поскольку оба множителя являются положительными числами), мы получим 2 · 3 . Мы вынесли множитель 2 2 из-под знака корня.

Приведем еще один пример подобного преобразования. У нас есть выражение ( x 2 — 3 · x · y · z ) 2 · x = x 2 — 3 · x · y · z · x . Здесь из-под корня был вынесен не просто числовой множитель, а целое выражение с переменными ( x 2 − 3 · x · y · z ) 2 .

Оба примера относятся к случаю вынесения множителя из-под квадратного корня. Можно также производить данные преобразования и для корней n -ной степени. Вот пример с кубическим корнем: ( 3 · a 2 ) 3 · 2 · a 2 3 = 3 · a 2 · 2 · a 2 3

Пример с корнем шестой степени: 1 2 · x 2 + y 2 6 · 5 · ( x 2 + y 2 ) 6 можно преобразовать в произведение 1 2 · x 2 + y 2 · 5 · ( x 2 · y 2 ) 6 , которое, в свою очередь, упрощается до 1 2 · ( x 2 + y 2 ) · 5 · ( x 2 + y 2 ) 6 . В данном случае мы выносим множитель 1 2 · x 2 + y 2 6 .

Мы выяснили, что такое вынесение множителя из-под знака корня. Теперь перейдем к доказательствам, т.е. поясним, почему произведение, полученное в итоге данного преобразования, равнозначно исходному выражению.

Почему возможно заменить корень на произведение

В этом пункте мы будем разбираться, как возможна такая замена и почему корень B n · C n равнозначен произведениям B · C n и B · C n . Обратимся к ранее изученным теоретическим положениям.

Когда мы разбирали преобразование иррациональных выражений, у нас получились некоторые важные результаты, которые мы собрали в таблицу. Здесь нам будут нужны только два из них:

1. Выражение A · B n при условии нечетности n может быть заменено на A n · B n , а для четных n – A n · B n .

2. Выражение A n n при нечетном значении n может быть преобразовано в A , а при четном – в | A | .

Используя эти результаты и зная основные свойства модуля, мы можем вывести следующее:

• при четном n : B n · C n = B n n · C n = B · C n ;
• при нечетном n : B n · C n = B n n · C n = B n n · C n = B · C n .

Эти выражения лежат в основе преобразований, которые мы проводим, вынося множитель из-под знака корня.

Следовательно, можно вывести две формулы:

• B 1 n · B 2 n · . . . · B k n · C n = B 1 · B 2 · . . . · B k · C n для нечетного n ;
• B 1 n · B 2 n · . . . · B k n · C n = B 1 · B 2 · . . . · B k · C n для четного n .

Здесь B 1 , B 2 , и др. могут быть как числами, так и выражениями.

С помощью данных формул можно выполнить вынесение из-под корня сразу нескольких множителей.

Основное правило вынесения множителя из-под корня

Когда нам нужно решать примеры с подобными преобразованиями, чаще всего приходится предварительно приводить подкоренное выражение к виду B n · C . С учетом этого момента мы можем записать следующие правила.

Для вынесения множителя из-под корня в выражении A n нужно предварительно привести корень к виду B n · C n и после этого перейти к произведению B · C n (при нечетном показателе) или к B · C n (при четном показателе, при необходимости раскрываем модули).

Таким образом, схема решения подобных задач выглядит следующим образом:

A n → B n · C n → B · C n , е с л и n — н е ч е т н о е B · C n , е с л и n — ч е т н о е

Если нам надо вынести несколько множителей, то действуем так:

A n → B 1 n · B 2 n · . . . · B k n · C n → B 1 · B 2 · . . . · B k · C n , е с л и n — н е ч е т н о е B 1 · B 2 · . . . · B k · C n , е с л и n — ч е т н о е

Теперь можно переходить к решению задач.

Задачи на вынесение множителя из-под знака корня

Условие: выполните вынесение множителя за знак корня в трех выражениях: 2 2 · 7 , — 1 2 3 2 · 5 , ( — 0 , 4 ) 7 · 11 7 .

Решение

Мы видим, что подкоренные выражения во всех трех случаях уже имеют нужный нам вид. Поскольку в первых двух примерах показателем корня является четное число, а в третьем – нечетное, записываем следующее:

1. Показатель корня равен 2 . Берем правило вынесения множителя для четного показателя и вычисляем: 2 2 · 7 = 2 · 7 = 2 · 7
2. Во втором выражении показатель тоже четный, значит, — 1 2 3 2 · 5 = — 1 2 3 · 5 = 1 2 3 · 5
   В этом случае мы можем сначала преобразовать выражения, исходя из основных свойств корня:
   — 1 2 3 2 · 5 = — 1 2 · 1 2 3 2 · 5 = 1 2 3 2 · 5
   А потом уже выносить множитель: 1 2 3 2 · 5 = 1 2 3 · 5 = 1 2 3 · 5 .
3. Последнее выражение имеет нечетный показатель, поэтому нам понадобится другое правило: ( — 0 , 4 ) 7 · 11 7 = — 0 , 4 · 11 7 .
   Возможен и такой вариант расчета:
   — 0 , 4 7 · 11 7 = ( — 1 ) 7 · 0 , 4 7 · 11 7 = = — 0 , 4 7 · 11 7 = — 0 , 4 7 · 11 7 = — 0 , 4 · 11 7
   ​​​​​​Или такой:
   — 0 , 4 7 · 11 7 = ( — 1 ) 7 · 0 , 4 7 · 11 7 = = — 0 , 4 7 · 11 7 = 0 , 4 7 · — 11 7 = 0 , 4 · — 11 7 = — 0 , 4 · 11 7

Ответ: 1 ) 2 · 7 ; 2 ) 1 2 3 · 5 ; 3 ) — 0 , 4 · 11 7 .

Условие: преобразуйте выражение ( — 2 ) 4 · ( 0 , 3 ) 4 · 7 4 · 11 4 .

Решение:

При помощи схемы, приведенной во втором пункте статьи, мы можем вынести из-под корня сразу три множителя.

( — 2 ) 4 · ( 0 , 3 ) 4 · 7 4 · 11 4 = = — 2 · 0 , 3 · 7 · 11 4 = 4 , 2 · 11 4

Можно сделать преобразование в несколько шагов, вынося множителя по одному, но так будет гораздо дольше.

Есть и другой способ. Преобразуем само выражение, приведя его к виду B n · C . После этого уже будем выносить множители:

( — 2 ) 4 · ( 0 , 3 ) 4 · 7 4 · 11 4 = = ( — 2 · 0 , 3 · 7 ) 4 · 11 4 = ( — 4 , 2 ) 4 · 11 4 = = — 4 , 2 · 11 4 = 4 , 2 · 11 4

Ответ: ( — 2 ) 4 · ( 0 , 3 ) 4 · 7 4 · 11 4 = — 4 , 2 · 11 4 = 4 , 2 · 11 4 .

Разберем более подробно тот случай, когда подкоренное выражение требует предварительного преобразования. Здесь есть несколько моментов, которые нужно дополнительно пояснить.

Предварительное преобразование подкоренного выражения

Мы уже отмечали, что выражение под корнем не всегда имеет удобный для нас вид. Часто корень дан как A n , и множитель, который нужно вынести, не представлен в явном виде. Иногда это обозначено в условии, но довольно часто множитель приходится определять самостоятельно. Посмотрим, как надо действовать в этих случаях.

Допустим, нам надо вынести заранее определенный множитель B . Естественно, подкоренное выражение должно быть таким, чтобы эта операция была возможна. Тогда для преобразования A n в B n · C n достаточно определить второй множитель, т.е. вычислить значение C из выражения A = B n · C .

Условие: есть выражение 24 · x 3 . Вынесите из-под знака корня множитель 2 3 .

Решение

Здесь мы имеем n = 3 , A = 24 · x , B 3 = 2 3 . Тогда из A = B n · С вычисляем C = A : ( B n ) = 24 · x : ( 2 3 ) = 3 · x .

Значит, 24 · x 3 = 2 3 · 3 · x 3 . Подкоренное выражение имеет нужный нам вид, и мы можем воспользоваться правилом для нечетного показателя и подсчитать: 24 · x 3 = 2 3 · 3 · x 3 = 2 · 3 · x 3 .

Ответ: 24 · x 3 = 2 · 3 · x 3 .

А как быть в случае, если множитель, который нужно вынести, не указан? Тогда у нас есть определенная свобода выбора, и мы можем использовать несколько подходов к решению задачи.

Допустим, нам дано выражение, под корнем у которого стоит степень или произведение нескольких степеней. В таком случае, зная основные свойства степени, мы можем преобразовать выражение в удобный для нас вид с очевидно указанными множителями для вынесения.

Условие: необходимо вынести множитель из-под корня в трех выражениях – 2 4 · 5 4 , 2 7 · 5 4 , 2 22 · 5 4 .

Решение

Преобразование первого выражения не представляет особой сложности, т.к. подобные примеры мы уже разбирали. Сразу вычисляем: 2 4 · 5 4 = 2 · 5 4 = 2 · 5 4 .

Во втором примере легко догадаться, как преобразовать подкоренное выражение: нужно просто представить 2 7 как 2 4 · 2 3 .

2 7 · 5 4 = 2 4 · 2 3 · 5 4 = 2 4 · 40 4 = 2 · 40 4 = 2 · 40 4

В последнем примере также нужно начать с преобразования подкоренного выражения. Сразу отметим, что итоговый вид будет таким:

2 5 4 · 2 2 · 5 4

Теперь покажем, как именно прийти к этому виду. Сначала выполняем деление 22 на 4 , получаем 5 с остатком 2 (если нужно, повторите, как правильно выполнять деление с остатком). Иначе говоря, 22 можно рассматривать как 4 · 5 + 2 . Используя свойства степени, можем записать:

2 22 + 2 5 · 4 + 2 = 2 5 · 4 · 2 2 = ( 2 5 ) 4 · 2 2

2 22 · 5 4 = ( 2 5 ) 4 · 2 2 · 5 4 = ( 2 5 ) 4 · 20 4 = = 2 5 · 20 4 = 32 · 20 4

Ответ: 1 ) 2 4 · 5 4 = 2 · 5 4 , 2 ) 2 7 · 5 4 = 2 · 40 4 , 3 ) 2 22 · 5 4 = 32 · 20 4 .

Если выражение под корнем не является степенью или произведением степеней, надо попробовать представить его в таком виде. Чаще всего встречаются следующие случаи.

Подкоренное выражение – натуральное составное число. Тогда мы сразу можем увидеть нужные множители, которые надо вынести из-под знака корня, предварительно разложив данное число на простые множители.

Условие: выполните вынесение множителя из-под знака корня в следующих выражениях: 1 ) 45 ; 2 ) 135 ; 3 ) 3456 ; 4 ) 102 .

1. Выполняем разложение 45 на простые множители.

45 15 5 1 3 3 5

То есть 45 = 3 · 3 · 5 = 3 2 · 5 , а 45 = 3 2 · 5 . В этом выражении видно, что выносить мы будем множитель 3 2 . Вычисляем:

3 2 · 5 = 3 · 5 = 3 · 5

1. Теперь представим в нужном виде число 135 и получим: 135 = 3 · 3 · 3 · 5 = 3 3 · 15 . Иначе можно записать, что 3 2 · 3 · 5 = 3 2 · 15 . Следовательно, 135 = 3 2 · 15 . Мы видим, что вынесению из-под знака корня подлежит множитель 3 2 :

3 2 · 15 = 3 · 15 = 3 · 15

1. Разложим на простые множители число 3456 :

3456 1728 864 432 216 108 54 27 9 3 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3

У нас получилось, что 3456 = 2 7 · 3 3 , а 3456 = 2 7 · 3 3 . Поскольку 2 7 = 2 3 · 2 + 1 = ( 2 3 ) 2 · 2 и 3 3 = 3 2 · 3 , то 2 7 · 3 3 = ( 2 3 ) 2 · 2 · 3 2 · 3 = ( 2 3 ) 2 · 3 2 · 6 = = 2 3 · 3 · 6 = 24 · 6

1. Представим натуральное число 102 как произведение простых множителей и получим 2 · 3 · 17 . Видим, что все множители имеют показатель, равный единице, а показатель корня в этом примере равен двум. Следовательно, в данном примере ни один множитель не нужно выносить из-под знака корня, то есть такое действие для 102 нецелесообразно.

Ответ: 1 ) 45 = 3 · 5 ; 2 ) 135 = 3 · 15 ; 3 ) 3456 = 24 · 6 ; 4 ) 102 .

Теперь разберем, как решать примеры, у которых подкоренное выражение представлено в виде обыкновенной дроби. В этом случае следует числитель и знаменатель разложить на простые множители и посмотреть, можно ли вынести какие-то из них за знак корня. Если у нас есть десятичная дробь или смешанное число, предварительно заменяем их обыкновенными дробями, после чего переходим от корня отношения к отношению корней.

Условие: выполните вынесение множителя за корень в выражении 200 · 0 , 000189 · x 3 и упростите его.

Решение

Для начала перейдем от десятичной дроби к обыкновенной и разложим ее числитель и знаменатель на простые множители.

0 , 189 = 189 1000000 = 3 3 · 7 2 6 · 5 6

Используя свойства степени, перепишем выражение в следующем виде:

3 2 2 · 5 2 3 · 7

Подставим получившееся выражение в исходное и получим:

200 · 0 , 000189 · x 3 = = 200 · 3 2 2 · 5 2 3 · 7 · x 3 = = 200 · 3 2 2 · 5 2 · 7 · x 3 = 6 · 7 · x 3

К такому же ответу можно прийти и с помощью других преобразований:

200 · 0 , 000189 · x 3 = = 200 · 189 1000000 · x 3 = 200 · 189 1000000 3 · x 3 = = 200 · 189 3 1000000 3 · x 3 = 200 · 3 3 · 7 3 100 3 3 · x 3 = = 200 · 3 · 7 3 100 · x 3 = 6 · 7 3 · x 3 = 6 · 7 · x 3

Ответ: 200 · 0 , 000189 · x 3 = 6 · 7 · x 3 .

Иными словами, для обнаружения множителя, который можно вынести за знак корня, можно преобразовывать подкоренное выражение любыми допустимыми способами.

Условие: выполните упрощение иррационального выражения 2 · ( 3 + 2 · 2 ) .

Решение

Мы можем преобразовать выражение в скобках как 2 + 2 · 2 + 1 и далее как 2 2 + 2 · 2 · 1 + 1 2 .

То, что у нас получилось, можно свернуть в квадрат суммы с помощью формулы сокращенного умножения: 2 2 + 2 · 2 · 1 + 1 = 2 + 1 2 .

В итоге: 2 · 3 + 2 · 2 = 2 · 2 + 1 2 . Теперь выносим 2 + 1 2 за знак корня и упрощаем выражение:

2 · 2 + 1 2 = 2 · 2 + 1 = = 2 · 2 + 1 = 2 + 2

Ответ: 2 · 3 + 2 · 2 = 2 + 2 .

Теперь посмотрим, как вынести из-под знака корня выражение, содержащее переменные. В целом можно сказать, что для этого используются те же методы, что и при работе с числами.

Условие: вынесите множитель из-под знака корня в выражениях ( x — 5 ) 5 4 и ( x — 5 ) 6 4 .

Решение

1. Выполняем преобразование в первом примере.

( x — 5 ) 5 4 = ( x — 5 ) 4 · x — 5 4 = x — 5 · x — 5 4

Знак модуля можно опустить. Посмотрим, каким условием определяется область допустимых значений переменной для исходного выражения. Таким условием будет неравенство ( x − 5 ) 5 ≥ 0 . Для его решения выбираем метод интервалов и получаем x ≥ 5 . Если значение x принадлежит области допустимых значений, то значением выражения x — 5 будет неотрицательное число. Значит, можем записать следующее:

x — 5 · x — 5 4 = x — 5 · x — 5 4

1. ( x — 5 ) 6 4 = ( x — 5 ) 4 · x — 5 2 4 = = x — 5 · ( x — 5 ) 2 4 = x — 5 · x — 5 2 4

Выполним сокращение показателей корня и степени на два. Обратимся к таблице результатов из статьи о преобразовании иррациональных выражений, о которой мы говорили выше. Возьмем из нее следующий результат: выражение A m n · m можно заменить на A n при условии, что m и n – натуральные числа. Следовательно,

x — 5 · x — 5 2 4 = x — 5 · x — 5

Нужно ли здесь убирать знак модуля? Посмотрим на область допустимых значений данного выражения: ее составляют все действительные числа, поскольку ( x − 5 ) 6 ≥ 0 для любого x . При этом значения x − 5 могут быть больше 0 , если x > 5 , равными 0 или отрицательными. Значит, оставляем выражение в виде x — 5 · x — 5 или представляем его в виде системы уравнений

( x — 5 ) · x — 5 , x ≥ 5 ( 5 — x ) · 5 — x , x 5

Ответ: 1 ) ( x — 5 ) 5 4 = ( x — 5 ) · x — 5 4 ; 2 ) ( x — 5 ) 6 4 = x — 5 · x — 5 .

Условие: выполните упрощение выражения x 5 + 2 · x 4 · y + x 3 · y 2 .

Решение

Выносим за скобки x 3 и получаем x 3 · ( x 2 + 2 · x · y + y 2 ) . Выражение в скобках можно представить в виде квадрата суммы: x 3 · ( x 2 + 2 · x · y + y 2 ) = x 3 · ( x + y ) 2 .

Теперь видим множители, подлежащие вынесению из-под корня: x 3 · ( x + y ) 2 = x 2 · x · ( x + y ) 2 = x · x + y · x

Также мы можем убрать знаки модуля, в которых находится x, поскольку область допустимых значений будет определена условием x 5 + 2 · x 4 · y + x 3 · y 2 ≥ 0 . Оно равносильно x 3 · ( x + y ) 2 ≥ 0 , а из него можно сделать вывод, что x ≥ 0 . У нас получилось, что x · x + y · x .

Ответ: x 5 + 2 · x 4 · y + x 3 · y 2 = x · x + y · x .

Это все, что мы хотели бы вам рассказать о вынесении множителя за знак корня. В следующей статье мы разберем обратное действие – внесение множителя под корень.

Источник